复旦大学 2023年强基第2题
📝 题目
集合 $A=\{x \mid x\lt -1$ 或 $x \geq 3\}, B=\{x \mid a x+1 \leq 0\}$ ，若 $B \leq A$ ，则实数 $a$ 取值范围为 。 A．$\displaystyle \left\{a \left\lvert\,-\frac{1}{3} \leq a\lt 1\right.\right\}$ B．$\displaystyle \left\{a \left\lvert\,-\frac{1}{3} \leq a \leq 1\right.\right\}$ C．$\{a \mid a\lt -1$ 或 $a\gt 0\}$ D．$\displaystyle \left\{a \left\lvert\,-\frac{1}{3} \leq a\lt 0\right.\right.$ 或 $\left.0\lt a\lt 1\right\}$
💡 答案解析
D 解析：考虑斜率 $\displaystyle -\frac{1}{3} \leq a\lt 1 \quad a \neq 0$ ，选 D。 
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析集合B的形式
B = {x | ax + 1 ≤ 0}，需对a分类讨论：a=0时，B为空集；a>0时，B = {x | x ≤ -1/a}；a<0时，B = {x | x ≥ -1/a}。
公式：ax+1≤0
提示：注意a=0时不等式变为1≤0，恒不成立，B为空集。
步骤 2/6
目标：根据B⊆A列出条件
B⊆A即B中所有元素满足x<-1或x≥3。分情况：a=0时B=∅⊆A成立；a>0时需-1/a < -1；a<0时需-1/a ≥ 3。
公式：B⊆A
提示：注意端点是否可取等号。
步骤 3/6
目标：解a>0时的不等式
a>0时，B=(-∞, -1/a]，需-1/a < -1，即1/a > 1，解得0
公式：-1/a < -1
提示：不等式两边乘以正数a，方向不变。
步骤 4/6
目标：解a<0时的不等式
a<0时，B=[-1/a, +∞)，需-1/a ≥ 3，即-1/a ≥ 3，两边乘以负数a得-1 ≤ 3a，解得a ≥ -1/3，结合a<0得-1/3 ≤ a < 0。
公式：-1/a ≥ 3
提示：乘以负数要变号。
步骤 5/6
目标：综合所有情况
a=0成立；0
提示：注意a=0单独考虑，不要遗漏。
步骤 6/6
目标：对照选项得出答案
选项D为{a | -1/3 ≤ a < 0 或 0 < a < 1}，与结果一致。
提示：检查端点：a=-1/3时B=[3,+∞)⊆A，a=1时B=(-∞,-1]不包含-1，故a=1不成立。
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