复旦大学 2023年强基第3题
📝 题目
设单位向量 $\vec{a}$ 与非向量 $\vec{b}$ 内夹角为 $\displaystyle \frac{2 \pi}{3}$ ，且 $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{3}|\vec{a}|$ ，则 $|\vec{a}-t \vec{b}|$ 的 min 为 。 A．$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$ B．$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ C．$\displaystyle \frac{1}{2}$ D． 1
💡 答案解析
B 解析：$\displaystyle |\vec{a}-t \vec{b}|_{\min }=1 \cdot \sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，选 B 。 
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：由已知条件求向量b的模长
设|a|=1，|b|=x，夹角120°，由|a-b|=√3得1+x²-2xcos120°=3，即1+x²+x=3，解得x=1或x=-2（舍），故|b|=1。
公式：|a-b|²=|a|²+|b|²-2|a||b|cosθ
提示：注意cos120°=-1/2
步骤 2/4
目标：将问题转化为点到直线距离
|a-tb|表示向量a减去tb的模，当t变化时，tb终点在过原点沿b方向的直线上，|a-tb|的最小值为a终点到该直线的距离。
公式：d=|a|sinθ
提示：几何意义：向量差的模的最小值
步骤 3/4
目标：计算最小距离
a与b夹角120°，但注意a-tb中tb方向与b相同或相反，a终点到直线距离为|a|sin(π-120°)=sin60°=√3/2。
公式：d=|a|sin(π-θ)=|a|sinθ
提示：夹角为120°，补角60°
步骤 4/4
目标：得出最小值
因此|a-tb|的最小值为√3/2，对应选项B。
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