复旦大学 2023年强基第4题
📝 题目
若函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}k x+1, & (-2 \leq x\lt 0) \\ 2 \sin (\omega x+\varphi) & \left(x\gt 0, \omega\gt 0,0\lt \varphi\lt \frac{\pi}{2}\right)\end{array}\right.$ 的部分图象如图，则 。 A．$\displaystyle k=-2, \omega=2, \varphi=\frac{\pi}{3}$ B．$\displaystyle k=\frac{1}{2}, \omega=\frac{1}{2}, \varphi=\frac{\pi}{3}$ C．$\displaystyle k=-\frac{1}{2}, \omega=\frac{1}{2}, \varphi=\frac{\pi}{6}$ D．$\displaystyle k=\frac{1}{2}, \omega=\frac{1}{2}, \varphi=\frac{\pi}{6}$
💡 答案解析
D 解析：$\displaystyle k=\frac{1}{2} . ~ T=4 \pi, \omega=\frac{1}{2}$ $$ \begin{aligned} \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{3} \pi+\varphi & =(2 k+1) \pi \\ \varphi & =\left(\frac{1}{6}+2 k\right) \pi \quad \text { 选 } \mathrm{D}_{0} \end{aligned} $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定分段函数在x=0处的连续性
由图象可知，函数在x=0处连续，因此左极限等于右极限。左极限为k*0+1=1，右极限为2sin(φ)，所以2sin(φ)=1，即sin(φ)=1/2。
公式：2\sin(\varphi)=1
提示：注意图象在x=0处是连续的，左右函数值相等。
步骤 2/6
目标：求解φ的值
由sin(φ)=1/2且0<φ<π/2，得φ=π/6。
公式：\varphi=\frac{\pi}{6}
提示：根据φ的范围确定唯一解。
步骤 3/6
目标：利用图象确定周期
从图象看出，正弦部分从x=0到第一个零点距离为π/3，到第二个零点距离为π/3+π=4π/3？实际上，图象显示一个完整周期为4π，因为从x=0到x=4π处函数值相同。
公式：T=4\pi
提示：观察图象中相邻两个波峰或波谷的距离。
步骤 4/6
目标：由周期求ω
周期T=4π，由T=2π/ω得ω=2π/T=2π/(4π)=1/2。
公式：\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{1}{2}
提示：注意ω>0。
步骤 5/6
目标：利用图象上的点求k
在x=-2处，函数值为0（图象过(-2,0)），代入kx+1得k*(-2)+1=0，解得k=1/2。
公式：k(-2)+1=0
提示：图象上点(-2,0)在左支上。
步骤 6/6
目标：验证选项
得到k=1/2, ω=1/2, φ=π/6，对应选项D。
提示：检查其他选项是否满足条件。
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