复旦大学 2023年强基第5题
📝 题目
设 $O$ 为原点，$P$ 是以 $F$ 为焦点的抛物线 $y^{2}=4 x$ 上任意一点，若 $M$ 为线段 $P F$ 中点，则直线 $O M$斜率最大为 。 A． 1 B．$\displaystyle \frac{2}{3}$ C．$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ D．$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$
💡 答案解析
A 解析：$P\left(y_{1}^{2}, 2 y_{1}\right)$ $$ \begin{aligned} & M\left(\frac{y_{1}^{2}+1}{2}, y_{1}\right) \\ & k=\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}+1} \leq 1 . \quad \text { 选 } \mathrm{A} 。 \end{aligned} $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设抛物线上的点P坐标
由于抛物线方程为y²=4x，设P点坐标为(y₁², 2y₁)，其中y₁为参数。
公式：y²=4x
提示：利用参数方程简化计算
步骤 2/6
目标：求焦点F坐标
抛物线y²=4x的焦点F坐标为(1,0)，因为2p=4，p=2，焦点为(p/2,0)。
公式：F=(1,0)
提示：注意焦点位置
步骤 3/6
目标：求中点M坐标
M是PF中点，P(y₁²,2y₁)，F(1,0)，所以M坐标为((y₁²+1)/2, y₁)。
公式：M=((y₁²+1)/2, y₁)
提示：中点坐标公式
步骤 4/6
目标：求直线OM斜率表达式
O为原点(0,0)，M((y₁²+1)/2, y₁)，斜率k = y₁ / ((y₁²+1)/2) = 2y₁/(y₁²+1)。
公式：k=2y₁/(y₁²+1)
提示：斜率公式k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)
步骤 5/6
目标：求斜率最大值
令t=y₁，则k=2t/(t²+1)。当t>0时，由基本不等式t²+1≥2t，得k≤1；当t=0时k=0；当t<0时k<0。故最大值为1。
公式：t²+1≥2t ⇒ k≤1
提示：利用基本不等式或判别式法
步骤 6/6
目标：得出答案
斜率最大值为1，对应选项A。
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