复旦大学 2023年强基第6题
📝 题目
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=2, a_{n+1}=a_{n}^{2}+a_{n}$ ，设 $\displaystyle S_{m}=\frac{3 a_{1}}{a_{1}+1}+\frac{3 a_{2}}{a_{2}+1}+\cdots+\frac{3 a_{m}}{a_{m}+1}$ ，若 $S_{m}\lt 2020$ ，则正整数 $m$ 的 max 为 。 A． 672 B． 673 C． 674 D． 675
💡 答案解析
B 解析：$\displaystyle a_{n+1}=a_{n}\left(a_{n}+1\right) \Rightarrow \frac{1}{a_{n}+1}=\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n+1}}$ $$ \begin{aligned} & \begin{aligned} S_{m}=\sum_{i=1}^{m} \frac{3 a_{i}}{a_{i}+1} & =\sum_{i=1}^{m}\left(3-\frac{3}{a_{i}+1}\right) \\ & =3 m-3 \cdot\left(\frac{1}{a_{1}}-\frac{1}{a_{m+1}}\right) \end{aligned} \\ &=3 m-\frac{3}{2}+\frac{3}{a_{m+1}} \\ & a_{n+1}-a_{n}\gt 4 . \text { 故 } a_{667}\gt 2000 \\ & \text { 只需 } 3 m-\frac{3}{2}\lt 2020 \\ & m \leq 673 \quad \text { 选 } \mathrm{B} \text { 。 } \end{aligned} $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简递推关系
由 a_{n+1}=a_n^2+a_n 得 a_{n+1}=a_n(a_n+1)，两边取倒数并裂项得到 1/(a_n+1)=1/a_n-1/a_{n+1}。
公式：a_{n+1}=a_n(a_n+1)
提示：注意裂项技巧
步骤 2/6
目标：化简S_m表达式
将通项 3a_i/(a_i+1) 改写为 3 - 3/(a_i+1)，然后求和得 S_m=3m - 3∑_{i=1}^m 1/(a_i+1)。
公式：3a_i/(a_i+1)=3-3/(a_i+1)
提示：分离常数
步骤 3/6
目标：利用裂项求和
由第一步的裂项，∑_{i=1}^m 1/(a_i+1)=1/a_1 - 1/a_{m+1}=1/2 - 1/a_{m+1}，代入得 S_m=3m - 3/2 + 3/a_{m+1}。
公式：∑ 1/(a_i+1)=1/a_1-1/a_{m+1}
提示：注意首项a1=2
步骤 4/6
目标：估计a_{m+1}的下界
由递推 a_{n+1}=a_n^2+a_n 得 a_{n+1}-a_n=a_n^2≥4（当n≥2时a_n≥2），故 a_{n+1}≥a_n+4，从而 a_{m+1}≥2+4m。
公式：a_{n+1}-a_n≥4
提示：利用单调性
步骤 5/6
目标：建立不等式求m范围
S_m<2020 即 3m-3/2+3/a_{m+1}<2020，由于 3/a_{m+1}>0，只需 3m-3/2<2020，解得 m<673.833，故 m≤673。
公式：3m-3/2<2020
提示：忽略正项得必要条件
步骤 6/6
目标：验证m=673是否可行
当m=673时，a_{674}≥2+4×673=2694，故 3/a_{674}≤3/2694≈0.0011，S_{673}=3×673-1.5+很小<2019-1.5+0.0011=2017.5011<2020，成立。
提示：验证充分性
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