复旦大学 2023年强基第7题
📝 题目
在 $\triangle A B C$ 中， $2 \sin (A+B)+\sin A \sin B$ max 为 。 A．$\displaystyle \frac{3}{4}+\sqrt{3}$ B．$\displaystyle \frac{\sqrt{17}+1}{2}$ C．$\displaystyle \frac{5}{2}$ D．$\displaystyle \sqrt{3}+\frac{1}{4}$
💡 答案解析
B 解析： $2 \sin (A+B)+\sin A \sin B$ $$ \begin{aligned} & =2 \sin C+\frac{1}{2}[\cos (A-B)-\cos (A+B)] \\ & \leq 2 \sin C+\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos C \\ & \leq \frac{1}{2}+\sqrt{2^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{1+\sqrt{17}}{2} \end{aligned} $$ 选B。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用三角形内角和将A+B转化为C
在三角形中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sin(π-C)=sinC。代入原式得2sinC+sinA sinB。
公式：A+B+C=π, sin(π-C)=sinC
提示：注意三角形内角和为π
步骤 2/6
目标：将sinA sinB转化为和差形式
利用积化和差公式：sinA sinB = 1/2[cos(A-B)-cos(A+B)]。由于cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC，代入得sinA sinB = 1/2[cos(A-B)+cosC]。
公式：sinA sinB = 1/2[cos(A-B)-cos(A+B)]
提示：注意cos(A+B)的符号变化
步骤 3/6
目标：将表达式整理成关于C和A-B的形式
原式=2sinC + 1/2[cos(A-B)+cosC] = 2sinC + 1/2 cosC + 1/2 cos(A-B)。
公式：原式 = 2sinC + 1/2 cosC + 1/2 cos(A-B)
提示：合并同类项
步骤 4/6
目标：利用余弦函数的有界性放缩
由于cos(A-B) ≤ 1，所以1/2 cos(A-B) ≤ 1/2。因此原式 ≤ 2sinC + 1/2 cosC + 1/2。
公式：cos(A-B) ≤ 1
提示：取等时A=B
步骤 5/6
目标：将表达式化为Asin(ωx+φ)形式求最大值
令f(C)=2sinC+1/2 cosC，其最大值为√(2²+(1/2)²)=√(4+1/4)=√(17/4)=√17/2。所以原式最大值 ≤ 1/2 + √17/2 = (1+√17)/2。
公式：asinθ+bcosθ ≤ √(a²+b²)
提示：辅助角公式
步骤 6/6
目标：验证最大值可达并选择答案
当A=B且C满足2sinC+1/2 cosC取最大值时，等号成立。因此最大值为(1+√17)/2，对应选项B。
提示：检查取等条件
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。