复旦大学 2023年强基第8题
📝 题目
What is the number of terms with rational coefficients among the 1001 terms of the expression $(x \cdot \sqrt[3]{2023}+y \sqrt{2})^{1000}$ 。 A． 166 B． 167 C． 168 D． 169
💡 答案解析
B 解析： $2 \mid k$ 且 $3 \mid 1000-k \Rightarrow k \equiv 0(\bmod 2)$ $$ \begin{gathered} k \equiv 1(\bmod 3) \\ k \equiv 4(\bmod 6) \end{gathered} $$ $1000=6 \times 166+4$ 共有 167 个，选 B。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定有理项条件
展开式通项为 T_{k+1}=C(1000,k) (x·∛2023)^{1000-k} (y√2)^k，系数有理当且仅当 ∛2023 和 √2 的指数均为整数，即 1000-k 是3的倍数，k是2的倍数。
公式：T_{k+1}=C(1000,k) (x·∛2023)^{1000-k} (y√2)^k
提示：注意系数有理要求根号部分指数为整数。
步骤 2/5
目标：列出同余方程组
由条件得：k ≡ 0 (mod 2) 且 1000-k ≡ 0 (mod 3)，即 k ≡ 0 (mod 2) 且 k ≡ 1 (mod 3)。
公式：k ≡ 0 (mod 2), k ≡ 1 (mod 3)
提示：将1000-k是3的倍数转化为k≡1 mod 3。
步骤 3/5
目标：求解同余方程组
解方程组得 k ≡ 4 (mod 6)，即 k=6m+4，m为非负整数。
公式：k ≡ 4 (mod 6)
提示：利用中国剩余定理或枚举。
步骤 4/5
目标：确定k的范围
k从0到1000，且k=6m+4，所以0≤6m+4≤1000，解得m=0,1,...,166。
公式：0 ≤ 6m+4 ≤ 1000
提示：注意m为整数。
步骤 5/5
目标：计算项数
m从0到166共167个值，对应167个k，即有167项系数为有理数。
公式：项数 = 166-0+1 = 167
提示：注意包含端点。
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