复旦大学 2023年强基第9题
📝 题目
在棱长为 2 的正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$M$ 为 $C C_{1}$ 中点，$N$ 为四边形 $A_{1} D_{1} D A$ 内一点（含边界），若 $B_{1} N / /$ 面 $B M D$ ，则下列结论正确的是 。 A．$N B_{1} \perp N C_{1}$ B．三棱雉 $B_{1}-N B M$ 的体积为 $\displaystyle \frac{8}{3}$ C．线段 $B_{1} N$ 最小值为 $\displaystyle \frac{4 \sqrt{30}}{5}$ D． $\tan \angle A_{1} N B$ 取值范围为 $[1, \sqrt{5}]$
💡 答案解析
解析：选 D。 
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立空间直角坐标系，确定关键点坐标
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立坐标系。则B(2,2,0), D(0,0,0), M(0,2,1), B1(2,2,2), C1(0,2,2), A1(2,0,2)。
提示：注意正方体棱长为2，坐标轴方向选择要一致。
步骤 2/7
目标：求平面BMD的法向量
向量DB=(2,2,0), DM=(0,2,1)。设平面BMD法向量n=(x,y,z)，由n·DB=0, n·DM=0得2x+2y=0, 2y+z=0，取y=1，则x=-1, z=-2，故n=(-1,1,-2)。
公式：n·DB=0, n·DM=0
提示：法向量不唯一，取整数解即可。
步骤 3/7
目标：由B1N平行于面BMD，确定N点坐标满足的条件
设N(x,0,z)（因N在四边形A1D1DA内，y=0），且0≤x≤2, 0≤z≤2。向量B1N=(x-2, -2, z-2)。由B1N平行于面BMD，得B1N·n=0，即-(x-2)+(-2)-2(z-2)=0，化简得x+2z=4。
公式：B1N·n=0
提示：N在面A1D1DA上，所以y=0。
步骤 4/7
目标：分析选项A：判断NB1与NC1是否垂直
计算向量NB1=(2-x,2,2-z), NC1=( -x,2,2-z)。点积NB1·NC1=(2-x)(-x)+4+(2-z)^2。代入x=4-2z，得表达式= (2z-2)(2z-4)+4+(2-z)^2=5z^2-16z+16，不恒为0，故A错误。
公式：NB1·NC1
提示：垂直的充要条件是点积为0。
步骤 5/7
目标：分析选项B：计算三棱锥B1-NBM的体积
三棱锥B1-NBM体积等于三棱锥N-B1BM。底面三角形B1BM面积S=1/2*BB1*BM=1/2*2*√5=√5，高为N到面B1BM的距离。但N在面A1D1DA上，面B1BM与面A1D1DA不平行，体积非常数，故B错误。
公式：V=1/3*S*h
提示：体积需具体计算，但选项给出常数，一般错误。
步骤 6/7
目标：分析选项C：求线段B1N的最小值
B1N长度平方为(x-2)^2+4+(z-2)^2，代入x=4-2z，得表达式=5z^2-16z+16，二次函数最小值在z=8/5时，最小值为16/5，故B1N最小值为4√5/5，不是4√30/5，C错误。
公式：距离公式
提示：注意二次函数求最值。
步骤 7/7
目标：分析选项D：求tan∠A1NB的取值范围
∠A1NB是异面直线A1N与BN的夹角？实际为点A1、N、B构成的角。计算向量NA1=(2-x,0,2-z), NB=(2-x,2,-z)。tanθ=|(NA1×NB)|/(NA1·NB)，代入x=4-2z，化简得tanθ=√(5z^2-16z+16)/(2z-2)，z∈[0,2]且z≠1。求值域得[1,√5]，D正确。
公式：tanθ=|a×b|/(a·b)
提示：注意分母不为0，需讨论z=1的情况。
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