复旦大学 2023年强基第10题
📝 题目
若复数 $Z$ 满足 $Z \cdot \bar{Z} \cdot(Z+2) \cdot(Z-2)=12$ ，则 $|Z+\sqrt{3} i|=$ 。 A． 2 B．$\sqrt{6}$ C． 9 D． 3
💡 答案解析
D 解析：$|Z|^{2}\left(Z^{2}-4\right)=12$ $$ \begin{aligned} & Z^{2}-4=\frac{12}{|Z|^{2}} \in R \\ & Z^{2} \in R \quad Z=a i \text { 或 } a \\ & \text { 若 } Z=a, a^{2}-4=\frac{12}{a^{2}} \\ & a^{4}-4 a-12=10 \\ & \left(a^{2}-6\right)\left(a^{2}+2\right)=0 \\ & a= \pm \sqrt{6} \\ & \text { 若 } Z=a i \end{aligned} $$ 原式 $=\sqrt{3+6}=3$ 选D。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简已知条件
由 Z·Z̅ = |Z|²，得 |Z|² (Z² - 4) = 12。
公式：Z·Z̅ = |Z|²
提示：注意共轭复数的性质。
步骤 2/6
目标：分析方程结构
由于 |Z|² 是正实数，所以 Z² - 4 = 12/|Z|² 也是实数，因此 Z² 是实数。
公式：Z² ∈ R
提示：实数条件可推出 Z 为实数或纯虚数。
步骤 3/6
目标：分类讨论 Z 为实数
设 Z = a (a∈R)，代入得 a² - 4 = 12/a²，即 a⁴ - 4a² - 12 = 0。
公式：a⁴ - 4a² - 12 = 0
提示：注意 a ≠ 0。
步骤 4/6
目标：解实数情况
因式分解得 (a² - 6)(a² + 2) = 0，所以 a² = 6，即 a = ±√6。
公式：(a² - 6)(a² + 2) = 0
提示：a² + 2 = 0 无实数解。
步骤 5/6
目标：分类讨论 Z 为纯虚数
设 Z = bi (b∈R, b≠0)，则 |Z|² = b²，Z² = -b²，代入得 -b² - 4 = 12/b²，即 b⁴ + 4b² + 12 = 0，无实数解。
公式：b⁴ + 4b² + 12 = 0
提示：判别式小于0，无实根。
步骤 6/6
目标：计算目标模长
由 Z = ±√6，得 |Z + √3 i| = |±√6 + √3 i| = √(6 + 3) = 3。
公式：|a + bi| = √(a² + b²)
提示：模长公式直接计算。
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