复旦大学 2023年强基第11题
📝 题目
已知函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2} a b x+\log _{\frac{1}{5}}\left(5^{x}+1\right)$ 为偶函数，$\displaystyle g(x)=3^{x}+\frac{a+b}{3^{x}}$ 为奇函数，$a, b \in C$ ，则 $\sum_{k=1}^{2023}\left(a^{k}+b^{k}\right)=(\quad)$ 。 A．-1 B．$\displaystyle \frac{1+\sqrt{3} i}{2}$ C．$\displaystyle \frac{1-\sqrt{3} i}{2}$ D． 1
💡 答案解析
D 解析：$\displaystyle f(x)=f(-x) \Leftrightarrow \frac{1}{2} a b x+\log _{\frac{1}{5}}\left(5^{x}+1\right)=\frac{1}{2} a b(-x)+\log _{\frac{1}{5}}\left(5^{x}+1\right)$ $$ =-\frac{1}{2} a b x+\log _{\frac{1}{5}}\left(5^{x}+1\right)+x $$ $$ \begin{aligned} & \Leftrightarrow a b=1 \\ & g(x)=-g(-x) \Leftrightarrow 3^{x}+\frac{a+b}{3^{x}}+\frac{1}{3^{x}}+(a+b) 3^{x}=0 \\ & \Leftrightarrow a+b=1 \\ & \text { 故 } a=\omega, b=\varpi, \omega=e^{i \frac{\pi}{3}} \\ & \sum_{k=1}^{2023}\left(a^{k}+b^{k}\right)=0 \times 337+1 \quad \text { 选D。 } \\ & 2023=6 \times 337+1 \end{aligned} $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用偶函数条件求ab
由f(x)=f(-x)得(1/2)abx+log_{1/5}(5^x+1)=-(1/2)abx+log_{1/5}(5^{-x}+1)。化简得abx=log_{1/5}((5^{-x}+1)/(5^x+1))=-x，所以ab=1。
公式：f(x)=f(-x) ⇒ ab=1
提示：注意对数运算性质：log_{1/5}(5^{-x}+1)=log_{1/5}((1+5^x)/5^x)=x+log_{1/5}(5^x+1)。
步骤 2/5
目标：利用奇函数条件求a+b
由g(x)=-g(-x)得3^x+(a+b)/3^x = -[3^{-x}+(a+b)3^{-x}]，整理得(3^x+3^{-x})(1+a+b)=0，所以a+b=-1。
公式：g(x)=-g(-x) ⇒ a+b=-1
提示：注意奇函数定义：g(-x)=-g(x)。
步骤 3/5
目标：解出a和b
由ab=1且a+b=-1，解得a,b是方程t^2+t+1=0的根，即a=ω, b=ω^2，其中ω=e^{2πi/3}=-1/2+√3i/2。
公式：t^2+t+1=0 ⇒ t=ω, ω^2
提示：ω是三次单位根，满足ω^3=1且ω≠1。
步骤 4/5
目标：计算a^k+b^k的周期
由于ω^3=1，a^k+b^k=ω^k+ω^{2k}。当k是3的倍数时，ω^k+ω^{2k}=1+1=2；否则为-1。周期为3。
公式：ω^k+ω^{2k}=2 (k≡0 mod 3), -1 (otherwise)
提示：利用ω^2+ω+1=0简化。
步骤 5/5
目标：求和∑_{k=1}^{2023}(a^k+b^k)
2023=3×674+1，每3项和为2+(-1)+(-1)=0，前2022项和为0，第2023项对应k=2023≡1 mod 3，值为-1。所以总和为-1。
公式：∑_{k=1}^{2023}(a^k+b^k) = -1
提示：注意余数计算。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。