复旦大学 2023年强基第12题
📝 题目
Let $f(x)=x^{2}(1-x)^{2}$ ．What is the value of the sum $\displaystyle f\left(\frac{1}{2023}\right)-f\left(\frac{2}{2023}\right)+f\left(\frac{3}{2023}\right)-f\left(\frac{4}{2023}\right)+\cdots+f\left(\frac{2021}{2023}\right)-f\left(\frac{2022}{2023}\right)=(\quad)$ 。 A． 0 B．$\displaystyle \frac{1}{2023^{4}}$ C．$\displaystyle \frac{2022^{2}}{2023^{4}}$ D． 1
💡 答案解析
A 解析：$f(x)=f(1-x)$ 选 A 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：观察函数对称性
注意到 f(x)=x^2(1-x)^2，计算 f(1-x) 得 (1-x)^2 x^2 = f(x)，所以 f(x) 关于 x=1/2 对称。
公式：f(1-x)=f(x)
提示：对称性是关键
步骤 2/5
目标：配对求和项
求和式从 k=1 到 2022，项为 (-1)^{k+1} f(k/2023)。由于 f(k/2023)=f(1 - k/2023)，且当 k 和 2023-k 时，符号相反。
公式：f(k/2023)=f((2023-k)/2023)
提示：注意符号变化
步骤 3/5
目标：配对抵消
对于 k=1 到 1011，第 k 项与第 2023-k 项：(-1)^{k+1} f(k/2023) + (-1)^{2023-k+1} f((2023-k)/2023) = (-1)^{k+1} f(k/2023) + (-1)^{2024-k} f(k/2023)。由于 2024-k 与 k+1 奇偶性相反，两项抵消。
公式：(-1)^{k+1} + (-1)^{2024-k}=0
提示：2023是奇数
步骤 4/5
目标：检查中间项
当 k=1011.5 时无整数，但 2023 为奇数，所有项均成对，无单独项。因此总和为 0。
提示：项数为偶数
步骤 5/5
目标：得出结论
所有项配对抵消，总和为 0，对应选项 A。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。