复旦大学 2023年强基第13题
📝 题目
$3 \vec{a}+4 \vec{b}+5 \bar{c}=\overrightarrow{0}$ ，且 $|\vec{a}|=20,|\vec{b}|=15,|\vec{c}|=12 . \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为（）。 A． $120^{\circ}$ B． $90^{\circ}$ C． $60^{\circ}$ D． $30^{\circ}$
💡 答案解析
A 解析： $3 \vec{a}+4 \vec{b}=-5 \vec{c}$ 取模 $|3 \vec{a}+4 \vec{b}|=60$ $$ \begin{aligned} & (3 \vec{a}+4 \vec{b}) \cdot(3 \vec{a}+4 \vec{b})=|3 \vec{a}+4 \vec{b}|^{2}=3600 \\ & 9|a|^{2}+16|b|^{2}+24 \vec{a} \cdot \vec{b}=3600 \\ & \vec{a} \cdot \vec{b}=-\frac{2}{3}|b|^{2} \\ & \cos (\vec{a}, \vec{b})=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|a| \cdot|b|}=\frac{-\frac{2}{3}|b|^{2}}{|a| \cdot|b|}=-\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}=-\frac{1}{2} \\ & \lt \vec{a}, \vec{b})=120^{\circ}, \text { 选 } \mathrm{A} \text { 。 } \end{aligned} $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将已知向量等式变形，移项得到3a+4b=-5c
由3a+4b+5c=0，移项得3a+4b=-5c。
公式：3a+4b=-5c
提示：注意移项时符号变化。
步骤 2/4
目标：对等式两边取模，得到|3a+4b|=60
计算|3a+4b|=|-5c|=5|c|=5×12=60。
公式：|3a+4b|=60
提示：利用|c|=12。
步骤 3/4
目标：计算|3a+4b|^2，展开得到关于a·b的方程
|3a+4b|^2=9|a|^2+16|b|^2+24a·b=3600，代入|a|=20，|b|=15得9×400+16×225+24a·b=3600，即3600+3600+24a·b=3600，解得a·b=-150。
公式：|3a+4b|^2=9|a|^2+16|b|^2+24a·b
提示：注意向量模的平方展开公式。
步骤 4/4
目标：利用点积公式求夹角余弦
cosθ=a·b/(|a||b|)=(-150)/(20×15)=-150/300=-1/2，所以θ=120°。
公式：cosθ=a·b/(|a||b|)
提示：余弦值为负，夹角为钝角。
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