复旦大学 2022年强基第1题
📝 题目
求 $\displaystyle \cos \frac{\pi}{5} \times \cos \frac{2 \pi}{5}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
【解析】原式 $\displaystyle =\frac{4 \sin \frac{\pi}{5} \cos \frac{\pi}{5} \cos \frac{2 \pi}{5}}{4 \sin \frac{\pi}{5}}=\frac{2 \sin \frac{2 \pi}{5} \cos \frac{2 \pi}{5}}{4 \sin \frac{\pi}{5}}=\frac{\sin \frac{4 \pi}{5}}{4 \sin \frac{\pi}{5}}=\frac{1}{4}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：引入辅助因子，构造正弦二倍角公式
分子分母同乘以4sin(π/5)，得到原式 = [4sin(π/5)cos(π/5)cos(2π/5)] / [4sin(π/5)]
公式：sin2θ = 2sinθcosθ
提示：乘以4sin(π/5)是为了连续使用二倍角公式
步骤 2/4
目标：应用正弦二倍角公式化简分子
分子中2sin(π/5)cos(π/5)=sin(2π/5)，所以分子变为2sin(2π/5)cos(2π/5)
公式：sin2θ = 2sinθcosθ
提示：注意系数变化
步骤 3/4
目标：再次应用正弦二倍角公式
分子中2sin(2π/5)cos(2π/5)=sin(4π/5)，所以原式 = sin(4π/5) / [4sin(π/5)]
公式：sin2θ = 2sinθcosθ
提示：连续使用二倍角公式
步骤 4/4
目标：利用诱导公式化简正弦值
sin(4π/5) = sin(π - π/5) = sin(π/5)，代入得原式 = sin(π/5) / [4sin(π/5)] = 1/4
公式：sin(π - θ) = sinθ
提示：注意角度关系
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