复旦大学 2022年强基第2题
📝 题目
集合 $\displaystyle \mathrm{R}=\left\{(x, y) \left\lvert\, x+y i=\frac{z-7 i}{z-i}\right.\right.$ ，其中 $\left.|z-i|=2\right\}$ ，求 $(x, y)$ 的轨迹 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
【解析】 $z-i=w$ ，则 $\displaystyle x+y i=\frac{w-6 i}{w}=1-\frac{6 i}{w},|w|=2 \Rightarrow\left|\frac{6 i}{w}\right|=3$ ，故 $(x, y)$ 轨迹为以 $(1,0)$ 为心， 3 为半径的圆。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入新变量简化表达式
令 w = z - i，则原条件 |z-i|=2 变为 |w|=2，且 z = w + i。
公式：w = z - i
提示：通过变量替换简化复数表达式
步骤 2/5
目标：用新变量表示目标复数
将 z = w + i 代入 x+yi = (z-7i)/(z-i)，得 x+yi = (w+i-7i)/w = (w-6i)/w。
公式：x+yi = (w-6i)/w
提示：代入时注意分子化简
步骤 3/5
目标：分离实部和虚部
将 (w-6i)/w 拆分为 1 - (6i)/w，即 x+yi = 1 - (6i)/w。
公式：x+yi = 1 - (6i)/w
提示：利用分式加法拆分
步骤 4/5
目标：利用模长条件求轨迹
由 |w|=2，得 |6i/w| = |6i|/|w| = 6/2 = 3。因此 x+yi 表示以 1 为实部、0 为虚部的点减去一个模长为3的复数，即点 (x,y) 到点 (1,0) 的距离为3。
公式：|6i/w| = 3
提示：模长运算性质：|a/b| = |a|/|b|
步骤 5/5
目标：得出轨迹方程
所以 (x-1)^2 + y^2 = 9，轨迹是以 (1,0) 为圆心、3为半径的圆。
公式：(x-1)^2 + y^2 = 9
提示：圆的标准方程
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。