复旦大学 2022年强基第3题
📝 题目
$x^{2}+m x+n=0$ 有解（实数根），$m, n$ 表示连续投两枚骰子的点数，则方程有实根的概率为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
【解析】有实根 $m^{2} \geq 4 n$ ，在 $m=1,2,3,4,5,6$ 时 $n$ 可能数为 $0,1,2,4,6,6$ 共 19 种，故概率为 $\displaystyle \frac{19}{36}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意，确定方程有实根的条件
一元二次方程有实根当且仅当判别式Δ≥0，即m²-4n≥0，所以m²≥4n。
公式：Δ = m² - 4n ≥ 0
提示：注意是实数根，包括相等实根，所以Δ≥0。
步骤 2/5
目标：确定m和n的取值范围
投两枚骰子，点数均为1到6的整数，所以m,n∈{1,2,3,4,5,6}，共有6×6=36种等可能结果。
公式：样本空间大小=6×6=36
提示：骰子点数从1开始，不是0。
步骤 3/5
目标：枚举满足m²≥4n的(m,n)对
对m=1到6，计算满足n≤m²/4的n个数：m=1时n≤0.25，n=0种；m=2时n≤1，n=1种；m=3时n≤2.25，n=2种；m=4时n≤4，n=4种；m=5时n≤6.25，n=6种；m=6时n≤9，n=6种。
公式：n ≤ m²/4
提示：n为整数，注意向下取整。
步骤 4/5
目标：计算满足条件的总个数
各m对应的n个数：0+1+2+4+6+6=19种。
公式：总数=0+1+2+4+6+6=19
提示：注意m=5和m=6时n最大为6，所以都是6种。
步骤 5/5
目标：计算概率
概率=满足条件的结果数/总结果数=19/36。
公式：P = 19/36
提示：结果化为最简分数。
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