复旦大学 2022年强基第4题
📝 题目
$\sqrt{3}+\sqrt{2}$ 是下列哪个方程的根 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
【解析】 $x=\sqrt{3}+\sqrt{2}, x^{2}=5+2 \sqrt{6},\left(x^{2}-5\right)^{2}=24$ 即 $x^{4}-10 x^{2}+1=0$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设根为x
设 x = √3 + √2，则我们需要找到以x为根的方程。
提示：直接设未知数，便于后续运算。
步骤 2/5
目标：计算x的平方
计算 x² = (√3+√2)² = 3 + 2√6 + 2 = 5 + 2√6。
公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²
提示：注意完全平方公式的应用。
步骤 3/5
目标：移项消去根号
将 x² = 5 + 2√6 移项得 x² - 5 = 2√6，然后两边平方。
提示：平方可以消去根号。
步骤 4/5
目标：平方得到整式方程
两边平方得 (x² - 5)² = (2√6)² = 24，即 x⁴ - 10x² + 25 = 24。
公式：(a-b)² = a² - 2ab + b²
提示：注意平方时不要漏掉系数。
步骤 5/5
目标：化简方程
移项得 x⁴ - 10x² + 1 = 0，这就是所求的方程。
提示：最终方程是整系数多项式方程。
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