复旦大学 2022年强基第5题
📝 题目
$\displaystyle \lim _{k \rightarrow+\infty} \sum_{n=1}^{k} \frac{n-1}{n\left(n^{2}+3 n+2\right)}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
【解析】 $\displaystyle \frac{n-1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(n+1)(n+2)}-\frac{1}{2} \frac{1}{n(n+1)}=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$故原式求和即 $\displaystyle =\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1+1}-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}=\frac{1}{4}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分解分母因式
将分母 n^2+3n+2 分解为 (n+1)(n+2)，得到通项为 (n-1)/[n(n+1)(n+2)]。
公式：n^2+3n+2=(n+1)(n+2)
提示：注意因式分解的准确性。
步骤 2/4
目标：裂项相消
将通项裂项为 (3/2)[1/(n+1)-1/(n+2)] - (1/2)[1/n-1/(n+1)]。
公式：(n-1)/[n(n+1)(n+2)] = (3/2)[1/(n+1)-1/(n+2)] - (1/2)[1/n-1/(n+1)]
提示：裂项时注意系数匹配，可通过待定系数法验证。
步骤 3/4
目标：求和并化简
求和从 n=1 到 k，相邻项抵消，剩余首尾项：-(1/2)*1/1 + (3/2)*1/2 - (1/2)*1/(k+1) + (3/2)*1/(k+2)。
公式：∑_{n=1}^k [3/2(1/(n+1)-1/(n+2)) - 1/2(1/n-1/(n+1))] = -1/2 + 3/4 - 1/[2(k+1)] + 3/[2(k+2)]
提示：注意抵消后剩余项的位置。
步骤 4/4
目标：取极限
当 k→+∞ 时，1/(k+1) 和 1/(k+2) 趋于0，极限值为 -1/2 + 3/4 = 1/4。
公式：lim_{k→∞} [ -1/2 + 3/4 - 1/(2(k+1)) + 3/(2(k+2)) ] = 1/4
提示：极限计算时忽略无穷小项。
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