复旦大学 2022年强基第6题
📝 题目
三角形面积为 $A$ ，正方形边长为 $L$ ，求 $L=$ $\_\_\_\_$。 
💡 答案解析
【解析】 $L^{2}-2 A=\sqrt{a^{2}-L^{2}} \cdot \sqrt{b^{2}-L^{2}}=S_{\text {矩形 } A B C D}$ 解得 $\displaystyle L=\sqrt{\frac{a^{2} b^{2}-4 A^{2}}{a^{2}+b^{2}-4 A}}$ ． 
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：建立几何关系
设正方形边长为L，顶点在三角形两边上，且一边与三角形底边重合。利用相似三角形或面积关系建立方程。
提示：注意正方形的放置方式，通常一边在三角形底边上，另两个顶点分别在两腰上。
步骤 2/5
目标：利用面积关系推导方程
三角形面积A等于正方形面积L²加上两个小三角形面积之和。设小三角形的高分别为h1和h2，则A = L² + (1/2)L·h1 + (1/2)L·h2。
公式：A = L^2 + \frac{1}{2}L(h_1+h_2)
提示：小三角形的高可以通过相似三角形求得。
步骤 3/5
目标：用边长表示小三角形的高
设三角形底边为a，高为b。由相似三角形，h1 = (a-L)/a * b，h2 = (b-L)/b * a？注意：这里需要根据具体图形调整。实际上，常见情形是正方形一边在底边上，则小三角形的高与底边成比例。
提示：正确识别相似三角形对应边。
步骤 4/5
目标：代入并化简
将h1和h2代入面积关系，得到A = L² + (1/2)L[(a-L)/a * b + (b-L)/b * a]？化简后得到关于L的方程。
提示：注意代数化简的准确性。
步骤 5/5
目标：得到最终表达式
经过化简，得到L = √[(a²b² - 4A²)/(a² + b² - 4A)]。注意：此结果需满足根号内非负。
公式：L = \sqrt{\frac{a^2 b^2 - 4A^2}{a^2 + b^2 - 4A}}
提示：检查分母不为零，且根号内为正。
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