复旦大学 2022年强基第7题
📝 题目
已知 $C: y=x^{2}$ ，集合 $S=\left\{y=x^{2}\right.$ 上的一个点，过该点有 C 的内接正三角形 $\}$ ，则 $S$ 为：（ ）。 A．$S=\varnothing$ B．$S=C$ C．$S=\{$ 原点 $\}$ D．$S$ 有三个元素
💡 答案解析
B【解析】 $y=\sqrt{3} x$ 与 $y=-\sqrt{3} x$ 和 $C$ 的三个交点 $O A B$ 均在 $S$ 中，故 $\# ~ S \geq 3$ ，排除 AC ，绕 $A$ 把 $C$ 顺时针转 $60^{\circ}$ ，由图像知 $C$ 与 $C^{\prime}$ 除 $O$ 外，还有一个 $A B$ 之外的交点，该点在 $S$ 中，\＃$S \geq 4$ ，选B。 
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解题意，明确集合S的定义
集合S是抛物线C: y=x^2上所有点，使得过该点存在C的内接正三角形。需要判断S的元素情况。
提示：注意内接正三角形的顶点都在抛物线上。
步骤 2/4
目标：寻找特殊点，排除错误选项
考虑直线y=√3 x和y=-√3 x与抛物线交于原点O和另外两点A、B。这三个点均满足存在内接正三角形（例如O与A、B构成正三角形），因此S至少有三个元素，排除A、C。
公式：y=√3 x, y=-√3 x
提示：利用对称性找到特殊点。
步骤 3/4
目标：进一步分析，发现更多点
将抛物线C绕点A顺时针旋转60°得到曲线C'，C与C'除原点外还有另一个交点（非A、B），该点也在S中，因此S至少有四个元素。
公式：旋转60°变换
提示：旋转后交点对应内接正三角形。
步骤 4/4
目标：得出结论，选择答案
由于S包含无穷多个点（实际上整个抛物线上的点都满足），所以S=C，故选B。
提示：注意排除有限个元素的选项。
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