复旦大学 2022年强基第8题
📝 题目
$x^{2}+2 x y+y^{2}+x-2 y=0$ 关于 $\_\_\_\_$对称。
💡 答案解析
【解析】方程即 $\displaystyle \left(x+y+\frac{1}{2}\right)^{2}=3 y+\frac{1}{4}$ ，故对称轴与 $\displaystyle x+y+\frac{1}{2}=0$ 平行，求导： $\displaystyle 2\left(x+y+\frac{1}{2}\right)\left(1+y^{\prime}\right)=3 y^{\prime}$ ，代入 $y^{\prime}=1$ 得顶点坐标满足 $\displaystyle 4\left(x+y+\frac{1}{2}\right)=3$ ， 即 $\displaystyle x+y=\frac{1}{4}$ ，故对称轴为 $\displaystyle x+y=\frac{1}{4}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将原方程配方，识别曲线类型
将方程 x^2+2xy+y^2+x-2y=0 配方为 (x+y+1/2)^2 = 3y+1/4，可知曲线为抛物线，对称轴与直线 x+y+1/2=0 平行。
公式：(x+y+1/2)^2 = 3y+1/4
提示：注意配方时保持等式平衡。
步骤 2/4
目标：利用导数求对称轴上的点
对原方程两边关于x求导：2(x+y+1/2)(1+y') = 3y'。由于对称轴上切线斜率为1，代入y'=1得2(x+y+1/2)*2=3，即4(x+y+1/2)=3。
公式：2(x+y+1/2)(1+y') = 3y'
提示：对称轴上的点满足切线斜率为1。
步骤 3/4
目标：求解顶点坐标满足的方程
由4(x+y+1/2)=3得x+y=1/4。此即顶点坐标满足的直线方程，也是对称轴方程。
公式：x+y=1/4
提示：顶点在对称轴上。
步骤 4/4
目标：验证对称性
将曲线关于直线x+y=1/4对称，可验证曲线上任一点关于该直线的对称点仍在曲线上。
提示：对称轴为直线x+y=1/4。
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