复旦大学 2022年强基第9题
📝 题目
有 22 人，第一排 5 人，第二排 8 人，第三排 9 人，共有 $\_\_\_\_$种排法。
💡 答案解析
【解析】所求即 $\displaystyle \frac{22!}{51 \cdot 8!\cdot 9!}=640179540$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题
有22人，要排成三排，第一排5人，第二排8人，第三排9人。求所有可能的排法总数。
提示：注意：排法考虑人的顺序，且每排内部顺序也重要。
步骤 2/6
目标：确定总排列数
22人全排列有22!种方式。但需要分配到三排，每排人数固定。
公式：22!
提示：全排列是基础。
步骤 3/6
目标：考虑分组
将22人分成三组，人数分别为5、8、9。分组方式数为组合数：C(22,5) * C(17,8) * C(9,9)。
公式：C(22,5) * C(17,8) * C(9,9)
提示：注意：C(9,9)=1。
步骤 4/6
目标：考虑每排内部排列
每组内部有顺序，第一排5!种，第二排8!种，第三排9!种。总排法为分组数乘以各排排列数。
公式：C(22,5)*C(17,8)*C(9,9) * 5! * 8! * 9!
提示：分组后每排内部再排列。
步骤 5/6
目标：化简表达式
C(22,5)*5! = 22!/(17!)，C(17,8)*8! = 17!/(9!)，C(9,9)*9! = 9!。相乘得22!/(5!8!9!)。
公式：22!/(5!8!9!)
提示：组合数与阶乘相乘化简。
步骤 6/6
目标：计算数值
计算22!/(5!8!9!) = 640179540。
公式：22!/(5!8!9!) = 640179540
提示：可用计算器或阶乘表。
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