复旦大学 2022年强基第10题
📝 题目
$\displaystyle f(x)=x-\frac{2}{3} \cos 3 x, f(x)$ 共有 $\_\_\_\_$个零点？
💡 答案解析
【解析】 $f(x)$ 零点必在 $\displaystyle \left[-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right]$ 内，$f^{\prime}(x)=1+2 \sin 3 x$ ，在 $\displaystyle x=-\frac{\pi}{18}$ 取 0 ， $\displaystyle f\left(-\frac{2}{3}\right)\lt 0, f\left(-\frac{\pi}{18}\right)\lt 0, f\left(\frac{2}{3}\right)\gt 0$ ，故 $f(x)=0$ 仅有一个根。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定零点存在范围
由余弦函数有界性，|cos3x|≤1，故f(x)=x-(2/3)cos3x的零点必满足|x|≤2/3，即零点在[-2/3, 2/3]内。
公式：|cos3x|≤1
提示：利用有界性缩小零点范围
步骤 2/5
目标：求导数判断单调性
求导得f'(x)=1+2sin3x。令f'(x)=0得sin3x=-1/2，在[-2/3,2/3]内解得x=-π/18。
公式：f'(x)=1+2sin3x
提示：导数零点用于划分单调区间
步骤 3/5
目标：分析单调区间
在[-2/3, -π/18)上，sin3x<-1/2，f'(x)<0，函数递减；在(-π/18, 2/3]上，f'(x)>0，函数递增。
提示：导数符号决定单调性
步骤 4/5
目标：计算端点及极值点函数值
f(-2/3)≈-0.6667-0.6667cos(-2)≈-0.6667+0.2776=-0.3891<0；f(-π/18)≈-0.1745-0.6667cos(-π/6)=-0.1745-0.5774=-0.7519<0；f(2/3)≈0.6667-0.6667cos2≈0.6667+0.2776=0.9443>0。
提示：计算时注意cos的近似值
步骤 5/5
目标：判断零点个数
函数在[-2/3, -π/18]上递减且两端均为负，无极值点变号；在[-π/18, 2/3]上递增，左端负右端正，由零点定理知恰有一个零点。
公式：零点定理
提示：单调区间内最多一个零点
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