复旦大学 2022年强基第11题
📝 题目
$y=a x^{2}+b, x=c y^{2}+d(a\gt 0, b\lt 0, c\gt 0, d\lt 0)$ 交于 4 点 $A B C D$ ，形成凸四边形 。 A．$A C \perp B D$ B．$A B C D$ 为矩形 C．$A B C D$ 为平行四边形 D．$A B C D$ 四点共圆
💡 答案解析
D【解析】用曲线系的想法，化方程为 $\displaystyle x^{2}=\frac{y-b}{a}, y^{2}=\frac{x-d}{c}$ 相加得其共圆，故 D 对。 对 B 与 C 易举出例子不成立（从图象观察），而对 A ，控制（2）的开口大小变化易于排除。（其他参量不变） 
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将两个方程转化为标准形式
由 y = ax^2 + b 得 x^2 = (y - b)/a；由 x = cy^2 + d 得 y^2 = (x - d)/c。
公式：x^2 = (y - b)/a, y^2 = (x - d)/c
提示：注意 a>0, c>0，所以分母为正。
步骤 2/4
目标：将两式相加得到圆的方程
将 x^2 和 y^2 的表达式相加：x^2 + y^2 = (y - b)/a + (x - d)/c，整理得 x^2 - x/c + y^2 - y/a = -b/a - d/c。
公式：x^2 + y^2 - (1/c)x - (1/a)y = -b/a - d/c
提示：这是圆的一般方程形式，因为 x^2 和 y^2 系数相同。
步骤 3/4
目标：验证四点共圆
由于四个交点都满足原方程组，因此也满足相加后的方程，而该方程表示一个圆，所以四点共圆。
提示：曲线系思想：两个二次曲线相加得到过它们交点的曲线。
步骤 4/4
目标：排除其他选项
通过调整参数（如改变c的大小）可构造反例，使得四边形不是矩形或平行四边形，且对角线不一定垂直。
提示：例如取a=1, b=-1, c=1, d=-1，画出图形观察。
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