复旦大学 2022年强基第12题
📝 题目
4 个人， 4 把一样的雨伞，每人拿一把，至少一个人拿到自己的伞的概率是 。 A．$\displaystyle \frac{1}{2}$ B．$\displaystyle \frac{3}{4}$ C．$\displaystyle \frac{2}{3}$ D．$\displaystyle \frac{5}{8}$
💡 答案解析
D【解析】错排公式：全部拿错的概率为 $\displaystyle \frac{1}{0!}-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}=\frac{3}{8}$ ，故其补集概率为 $\displaystyle 1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解问题：求4人中至少一人拿到自己雨伞的概率
4个人随机拿4把相同的雨伞，每人一把，总共有4! = 24种等可能拿法。至少一人拿到自己的伞，即求事件概率。
公式：P(至少一人拿对) = 1 - P(全错)
提示：考虑用错排公式求全错概率，再取补集。
步骤 2/5
目标：计算全错排列数（错排数）
4个元素的错排数D4 = 4! * (1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4!) = 24 * (1 - 1 + 1/2 - 1/6 + 1/24) = 24 * (9/24) = 9。
公式：Dn = n! * Σ_{k=0}^n (-1)^k / k!
提示：错排公式直接代入n=4。
步骤 3/5
目标：计算全错概率
全错概率 = D4 / 4! = 9 / 24 = 3/8。
公式：P(全错) = Dn / n!
提示：注意约分。
步骤 4/5
目标：计算至少一人拿对的概率
至少一人拿对 = 1 - 全错概率 = 1 - 3/8 = 5/8。
公式：P(至少一人拿对) = 1 - P(全错)
提示：补集思想。
步骤 5/5
目标：选择对应选项
5/8对应选项D。
提示：检查选项。
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