复旦大学 2022年强基第13题
📝 题目
矩阵中，定义 $a * b=a b-b a$ ，正确的是 。 A．$a *(b * c)=(a * b) * c$ B．$a *(b * c)=$ ？ C．？ D．$a * b: b * a$
💡 答案解析
【解析】题目的描述不清，但：$a \times(b \times c)=a \times(b c-c b)=(a b c-a c b)-(b c a-c b a)$ ， $(a \times b) \times c=(a b-b a) \times c=(a b c-b a c)-(c a b-c b a)$ 不等， A 不对。 $\mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ 均不清，但本题与李代数中的 Lie 括积有关，$[A, B]=A B-B A$ ， 有 Jacobi 恒等式，$[A,[B, C]]+[C,[A, B]]+[B,[C, A]]=0$ ， Lie 括积非结合，且反交换。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题目中的运算定义
定义运算 a * b = ab - ba，其中 ab 和 ba 是矩阵乘法。注意此运算非结合且反交换。
公式：a * b = ab - ba
提示：牢记运算顺序：先乘法后减法。
步骤 2/5
目标：验证选项A：a*(b*c) = (a*b)*c
计算左边：a*(b*c) = a*(bc-cb) = a(bc-cb) - (bc-cb)a = abc - acb - bca + cba。右边：(a*b)*c = (ab-ba)*c = (ab-ba)c - c(ab-ba) = abc - bac - cab + cba。左右不等，故A错误。
公式：a*(b*c) = abc - acb - bca + cba; (a*b)*c = abc - bac - cab + cba
提示：展开时注意矩阵乘法不交换，保持顺序。
步骤 3/5
目标：分析选项B和C（题目不完整）
由于题目中B和C选项未给出具体表达式，无法直接判断。但根据Lie括号性质，常见恒等式如Jacobi恒等式：a*(b*c) + c*(a*b) + b*(c*a) = 0。
公式：Jacobi恒等式: [a,[b,c]] + [c,[a,b]] + [b,[c,a]] = 0
提示：注意反交换律：a*b = -b*a。
步骤 4/5
目标：分析选项D：a*b 与 b*a 的关系
计算 b*a = ba - ab = -(ab - ba) = -a*b，所以 a*b = -b*a，即反交换。因此D选项可能涉及此性质。
公式：a*b = -b*a
提示：反交换是Lie括号的基本性质。
步骤 5/5
目标：总结正确选项
根据题目残缺信息，常见正确选项涉及反交换律或Jacobi恒等式。由于A错误，B、C未知，D可能正确（a*b = -b*a）。但需原题确认。
提示：强基真题常考Lie括号性质，注意非结合性。
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