复旦大学 2022年强基第14题
📝 题目
在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，满足 $\sin A=2 \sin B \sin C$ ，求 $\tan A \tan B \tan C$ 的最小值。
💡 答案解析
【解析】 $2 \sin B \sin C=\sin A=\sin (B+C)$ $$ =\sin B \cos C+\cos B \sin C $$ $\therefore 2 \tan B \tan C=\tan B+\tan C$ $\therefore \tan A \tan B \tan C=\tan A+\tan B+\tan C$ $$ \begin{aligned} & =\tan A+2 \tan B \tan C \\ & \quad \geq 2 \sqrt{2} \sqrt{\tan A \tan B \tan C} \end{aligned} $$ $\therefore \tan A \tan B \tan C \geq 8$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用三角形内角和将sinA转化为sin(B+C)
由三角形内角和A+B+C=π，得sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC。
公式：sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC
提示：注意三角形内角和为π，sin(π-θ)=sinθ。
步骤 2/6
目标：将已知条件转化为关于tanB和tanC的等式
已知sinA=2sinBsinC，代入sinA=sinBcosC+cosBsinC，两边除以cosBcosC得tanB+tanC=2tanBtanC。
公式：tanB+tanC=2tanBtanC
提示：除以cosBcosC时需确保cosB, cosC不为0，即B,C不为直角。
步骤 3/6
目标：利用三角恒等式得到tanA与tanB,tanC的关系
由tanA=-tan(B+C)=-(tanB+tanC)/(1-tanBtanC)，代入tanB+tanC=2tanBtanC得tanA=2tanBtanC/(tanBtanC-1)。
公式：tanA=2tanBtanC/(tanBtanC-1)
提示：注意tan(B+C)公式中符号，因为A+B+C=π，tanA=-tan(B+C)。
步骤 4/6
目标：推导tanA tanB tanC的表达式
设x=tanBtanC，则tanA=2x/(x-1)，所以tanA tanB tanC = (2x/(x-1))*x = 2x^2/(x-1)。
公式：tanA tanB tanC = 2x^2/(x-1)
提示：这里x=tanBtanC，注意x>0。
步骤 5/6
目标：利用基本不等式求最小值
由tanB+tanC=2tanBtanC≥2√(tanBtanC)，得2x≥2√x，即x≥1。令t=x-1>0，则表达式=2(t+1)^2/t=2(t+2+1/t)≥2(2+2)=8，当t=1即x=2时取等。
公式：基本不等式：a+b≥2√ab
提示：注意等号成立条件：tanB=tanC，且x=2。
步骤 6/6
目标：得出最小值并验证取等条件
最小值为8，当tanB=tanC=√2，tanA=2√2时取等，此时三角形存在。
提示：验证三角形内角正切均为正，说明为锐角三角形。
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