复旦大学 2022年强基第15题
📝 题目
已知 $\displaystyle |\vec{a}|=4,|\vec{b}|=2,\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle=\frac{\pi}{3}, \vec{c}^{2}-\vec{a} \cdot \vec{c}=5$ ，求 $|\vec{b}-\vec{c}|$ 的最小值。
💡 答案解析
$$ \begin{gathered} \vec{c}^{2}-\vec{a} \cdot \vec{c}=\vec{c} \cdot(\vec{c}-\vec{a}) \\ =\vec{d}^{2}-\left(\frac{1}{2} \vec{a}\right)^{2} \\ =\vec{d}^{2}-4=5 \\ \therefore|\vec{d}|=3 \end{gathered} $$ 即 $\vec{C}$ 终点在以 A 为圆心，半径为 3 的圆上 $$ \therefore|\vec{b}-\vec{c}| \in[1,5] $$📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将已知条件转化为向量关系
由已知，设向量a、b起点为O，终点分别为A、B。|a|=4，|b|=2，夹角π/3。条件c² - a·c = 5可写为c·(c - a)=5。
公式：c² - a·c = c·(c - a)
提示：注意向量点积的分配律
步骤 2/6
目标：构造新向量d简化条件
令d = c - a/2，则c = d + a/2。代入c·(c - a)得(d + a/2)·(d - a/2) = d² - (a/2)² = d² - 4 = 5，所以|d|=3。
公式：d = c - a/2, d² = |d|²
提示：利用平方差公式简化
步骤 3/6
目标：解释d的几何意义
d = c - a/2，即向量c的终点到向量a中点（记为M）的向量。|d|=3表示c的终点在以M为圆心、半径为3的圆上。
公式：|c - a/2| = 3
提示：M是OA的中点
步骤 4/6
目标：将目标表达式转化为距离
求|b - c|的最小值，即向量b终点B到向量c终点C的距离最小值。B固定，C在圆M上运动，问题转化为圆外一点到圆上点的最短距离。
公式：|b - c| = |BC|
提示：B是定点，C是动点
步骤 5/6
目标：计算圆心M到点B的距离
M是OA中点，|OM|=|a|/2=2。∠AOB=π/3，由余弦定理，|MB|² = |OM|² + |OB|² - 2|OM||OB|cos(π/3) = 4+4-2*2*2*0.5=4，所以|MB|=2。
公式：|MB|² = |OM|² + |OB|² - 2|OM||OB|cos∠MOB
提示：注意∠MOB=∠AOB=π/3
步骤 6/6
目标：求最小值
圆M半径r=3，点B到圆心M距离|MB|=2，因为2<3，所以B在圆内。圆内一点到圆上点的最小距离为半径减去该点到圆心距离，即3-2=1。
公式：min|BC| = r - |MB|
提示：B在圆内时最小距离为r - d
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