复旦大学 2022年强基第16题
📝 题目
已知 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\left|\log _{2}(x+1)\right|,-1\lt x \leq 3 \\ \frac{1}{2} x^{2}-5 x+\frac{25}{2}, x\gt 3\end{array}\right.$ ，若 $f(x)=m$ 有四个解 $a\lt b\lt c\lt d$ ，则 。 A．$a b=1$ B．$c d \in[21,25]$ C．$c+d=22$ D．$\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-1$
💡 答案解析
$\therefore \log _{2}(a+1)=-\log _{2}(b+1)$ $$ \therefore(a+1)(b+1)=1 $$ $\therefore a b=-a-b$ 即 $\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-1$ $\because c+d=10$ $\therefore c d=c(10-c) \in(21,25)$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析函数f(x)的分段表达式和图像特征
f(x)在-13时为二次函数。画出草图，可知f(x)=m有四个解时，m∈(0,1)，且a,b在-13段。
提示：注意绝对值函数和二次函数的对称性。
步骤 2/6
目标：确定a,b满足的关系
由于a
公式：(a+1)(b+1)=1
提示：利用对数性质。
步骤 3/6
目标：推导选项D
由(a+1)(b+1)=1展开得ab+a+b+1=1，即ab=-a-b，两边除以ab得1+1/b+1/a=0，所以1/a+1/b=-1。选项D正确。
公式：1/a+1/b=-1
提示：注意a,b不为0。
步骤 4/6
目标：确定c,d满足的关系
c,d是二次函数y=1/2 x^2-5x+25/2与y=m的交点，且c
公式：c+d=10
提示：二次函数对称性。
步骤 5/6
目标：求cd的取值范围
由c+d=10，得cd=c(10-c)。由于c>3且c<5（因为m<1时，二次函数值小于1，解出c∈(3,5)），所以cd∈(21,25)。选项B正确（注意开区间）。
公式：cd=c(10-c)∈(21,25)
提示：利用二次函数值域。
步骤 6/6
目标：判断选项A
由(a+1)(b+1)=1得ab= -a-b，不一定等于1。例如取a=0，则b=0，但a
提示：反例验证。
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