复旦大学 2022年强基第1题

解：设大长方形长为 $a$ 的边等分成 $2^{m}$ 份，长为 $b$ 的边等分成 $2^{n-m}$ 份，则每个小长方形的周长为 $\displaystyle 2\left(\frac{a}{2^{m}}+\frac{b}{2^{n-m}}\right)$ ，故所有小长方形的周长和为 $\displaystyle 2^{n} \times 2\left(\frac{a}{2^{m}}+\frac{b}{2^{n-m}}\right)=2\left(2^{n-m} a+2^{m} b\right) \geq 2 \times 2 \sqrt{2^{n-m} a \cdot 2^{m} b}=2^{2+\frac{n}{2}} \sqrt{a b}$ ，取等条件为 $2^{n-m} a=2^{m} b$ ， 即 $\displaystyle m=\frac{n-\log _{2}\left(\frac{b}{a}\right)}{2}$ 。 $\displaystyle \frac{\text { 当 }}{n-\log _{2}\left(\frac{b}{a}\right)}$ 为自然数时，所求最小值为 $\displaystyle 2^{2+\frac{n}{2}} \sqrt{a b}$ ： $\displaystyle \frac{\text { 当 }}{n-\log _{2}\left(\frac{b}{a}\right)} \leq 0$ 时，应取 $m=0$ ，所求最小值为 $2\left(2^{n} a+b\right)$ ； 当 $\displaystyle \frac{n-\log _{2}\left(\frac{b}{a}\right)}{2}\gt 0$ 且不为整数时，应取 $\displaystyle m_{1}=\left\lfloor\frac{n-\log _{2}\left(\frac{b}{a}\right)}{2}\right\rfloor, m_{2}=m_{1}+1$ ，所求最小值为 $\min \left\{2\left(2^{n-m_{1}} a+2^{m_{1}} b\right), 2\left(2^{n-m_{2}} a+2^{m_{2}} b\right)\right\}$ 。