复旦大学 2022年强基第2题
📝 题目
两条二次曲线的公切线可能有几条？若推广为一条 $m$ 次曲线和一条 $n$ 次曲线呢？
💡 答案解析
解：先考虑两条二次曲线的情形： 若一个小椭圆内含于另一个大椭圆，则它们不存在公切线； 若一个小椭圆内切于另一个大椭圆，则它们恰存在一条公切线； 若一个椭圆与另一个椭圆相交于两点，则它们恰存在两条公切线； 若两个全等的椭圆外切于一点，则它们恰存在三条公切线； 若两个全等的椭圆相离，则它们恰存在四条公切线。 一般地，考虑一条直线相切于两个一般位置椭圆的方程组，这是关于直线的两个系数的两个独立二次方程，于是至多有四组解，即公切线条数的范围为 $\{0,1,2,3,4\}$ 。 以上结论可完全平行推广为一条 $m$ 次曲线和一条 $n$ 次曲线的公切线可能有 $0,1 \cdots, m n$ 条。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析两条二次曲线公切线的可能情况
考虑两个椭圆的位置关系：内含、内切、相交、外切、相离，分别对应0到4条公切线。
提示：通过几何直观理解不同位置关系下的公切线数量。
步骤 2/4
目标：建立公切线方程并求解
设公切线为y=kx+b，代入两个椭圆方程得到关于k,b的两个二次方程，联立求解。
公式：二次曲线方程：Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0
提示：注意判别式条件，每个方程给出一个二次条件。
步骤 3/4
目标：确定公切线数量的最大值
两个二次方程最多有4组解，因此公切线最多4条，且可能为0,1,2,3,4条。
提示：解的数量由方程组的代数性质决定。
步骤 4/4
目标：推广到m次曲线和n次曲线
类似地，设公切线y=kx+b，代入m次和n次曲线得到关于k,b的m次和n次方程，联立最多有mn组解。
提示：公切线数量范围是0到mn。
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