复旦大学 2022年强基第3题

解：（1）由对称性不妨设 $m, n \geq 0$ ，显然当运动次数为 $k=m+n+2 p(p \in \mathbb{N})$ 时，质点才可能到达 $(m, n)$ ，我们将上述运动过程分为以下四部分：向 $x$ 轴正方向 $(m+q)$ 步，向 $x$ 轴负方向 $q$ 步； 向 $y$ 轴正方向 $(n+p-q)$ 步，向 $y$ 轴负方向 $(p-q)$ 步，其中 $q \in \mathbb{N}$ 且 $0 \leq q \leq p$ ，于是所求的概率为 $\displaystyle \frac{1}{4^{k}} \sum_{q=0}^{p}\binom{m+n+2 p}{m+q}\binom{n+2 p-q}{q}\binom{n+2 p-2 q}{n+p-q}=\sum_{q=0}^{p} \frac{(m+n+2 p)!}{4^{m+n+2 p}(m+q)!q!(n+p-q)!(p-q)!}$ 。由二维随机游走的常返性，当 $p \rightarrow+\infty$ 时，上述概率趋于 1 。 （2）我们沿用（1）中的记号，此时增加条件：在 $(n+2 p-2 q)$ 个 $y$ 轴方向运动中，质点始终位于 $x$ 轴上方。将 $y$ 轴方向的每一步运动记为 $y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n+2 p-q} \in\{ \pm 1\}$ ，其中 $y_{i}=+1$ 表示在第 $i$ 步向 $y$ 轴正方向运动，$y_{i}=-1$ 表示在第 $i$ 步向 $y$ 轴负方向运动，则条件等价于 $\forall 1 \leq l \leq n+2 p-2 q, S_{l}:=\sum_{i=1}^{l} y_{i}\gt 0$ ，以下先计算不满足条件的排列数： （1）若 $y_{1}=-1$ ，则 $S_{1}=-1$ ，显然不满足条件，此种排列有 $\binom{n+2 p-2 q-1}{p-q-1}$ 种； （2）若 $y_{1}=+1$ ，且 $\exists 1\lt l\lt n+2 p-2 q$, s．$S_{l}=0$ ，此时也不满足条件，由 $y_{1}+\cdots+y_{l}=0$ 知， $-y_{1}-\cdots-y_{l}=0$ ，则 $-y_{1}, \cdots,-y_{l}, y_{l+1}, \cdots y_{n+2 p-2 q}$ 仍然是到达 $(m, n)$ 的运动过程，它属于情形（1），于是情形（2）的排列都可一一对应情形（1）的排列，故此种排列也有 $\binom{n+2 p-2 q-1}{p-q-1}$ 种。 因此，满足条件的排列数共有 $\left[\binom{n+2 p-2 q}{p-q}-2\binom{n+2 p-2 q-1}{p-q-1}\right]$ 种，故所求的概率为 $$ \begin{array}{r} \frac{1}{4^{k}} \sum_{q=0}^{p}\binom{m+n+2 p}{m+q}\binom{n+2 p-q}{q}\left[\binom{n+2 p-2 q}{p-q}-2\binom{n+2 p-2 q-1}{p-q-1}\right] \\ \quad=\sum_{q=0}^{p} \frac{(m+n+2 p)!}{4^{m+n+2 p}(m+q)!q!(n+p-q)!(p-q)!} \cdot \frac{n}{n+2 p-2 q} \end{array} $$