复旦大学 2022年强基第4题
📝 题目
在四边形 $A B C D$ 中，存在等角共轭点 $p$ ，则 $p$ 点的轨迹是几次方程？能说出它的方程吗？
💡 答案解析
解：考虑四边形 $A B C D$ 的内切椭圆或旁切椭圆 $E, E$ 的焦点记为 $P, Q$ ，则由等角共轭点的存在性知，$P, Q$ 在四边上的投影点共圆，且圆点是椭圆 $E$ 的中心，此时 $P, Q$ 是关于四边形 $A B C D$ 的等角共轭点，注意当 $E$ 为四边形 $A B C D$ 的内切椭圆时，$\angle A P B+\angle C P D=180^{\circ}$ ；当 $E$ 为四边形 $A B C D$ 的旁切椭圆时，$\angle A P B=\angle C P D$ ，于是在平面上，$A, B, C, D, P$ 五个点对应的复数满足方程 $\displaystyle \operatorname{Im}\left(\frac{P-A}{P-B} \cdot \frac{P-C}{P-D}\right)=0$ ，这构成了一条三次曲线。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入内切椭圆或旁切椭圆的概念
考虑四边形ABCD的内切椭圆或旁切椭圆E，其焦点记为P、Q。
提示：内切椭圆与四边相切，旁切椭圆与一边延长线相切。
步骤 2/5
目标：利用等角共轭点的性质
由等角共轭点的存在性知，P、Q在四边上的投影点共圆，且圆心是椭圆E的中心。此时P、Q是关于四边形ABCD的等角共轭点。
提示：等角共轭点满足角度关系。
步骤 3/5
目标：区分内切和旁切情况的角度关系
当E为内切椭圆时，∠APB+∠CPD=180°；当E为旁切椭圆时，∠APB=∠CPD。
提示：注意角度和或相等关系。
步骤 4/5
目标：转化为复数方程
在复平面上，A、B、C、D、P五点满足方程Im((P-A)/(P-B) * (P-C)/(P-D)) = 0。
公式：Im\left(\frac{P-A}{P-B} \cdot \frac{P-C}{P-D}\right)=0
提示：虚部为零表示角度条件。
步骤 5/5
目标：确定方程次数
该方程是关于P的三次方程，因此P点的轨迹是三次曲线。
提示：展开后最高次为三次。
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