复旦大学 2021年强基第1题
📝 题目
$\displaystyle f(x)=\frac{1+\cos x}{\sin x}+\frac{1+\sin x}{\cos x}$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 区间里有 。 A．极大值 $2+2 \sqrt{2}$ B．最大值 $2+2 \sqrt{2}$ C．极小值 $2+2 \sqrt{2}$ D．最小值 $2+2 \sqrt{2}$
💡 答案解析
解：$\displaystyle f^{\prime}(x)=\left(\frac{1}{\cos ^{2} x}-\frac{1}{\sin ^{2} x}\right)+\left(\frac{\sin x}{\cos ^{2} x}-\frac{\cos x}{\sin ^{2} x}\right)$ 两个括号内部都是在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{4}\right)\lt 0,\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)\gt 0$ 故最小值为 $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{4}\right)=2+2 \sqrt{2}$ ，选 D。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求导数f'(x)
对f(x)求导，利用商法则和基本导数公式，得到f'(x) = (1/cos²x - 1/sin²x) + (sin x/cos²x - cos x/sin²x)。
公式：f'(x) = (1/cos²x - 1/sin²x) + (sin x/cos²x - cos x/sin²x)
提示：注意分项求导，合并同类项。
步骤 2/6
目标：化简导数表达式
将f'(x)通分合并，得到f'(x) = (sin²x - cos²x)/(sin²x cos²x) + (sin³x - cos³x)/(sin²x cos²x) = (sin x - cos x)(1 + sin x + cos x)/(sin²x cos²x)。
公式：f'(x) = (sin x - cos x)(1 + sin x + cos x)/(sin²x cos²x)
提示：利用平方差和立方差公式。
步骤 3/6
目标：确定导数的符号
在(0,π/2)内，分母sin²x cos²x>0，因子1+sin x+cos x>0，故f'(x)的符号由sin x - cos x决定。当x∈(0,π/4)时，sin xcos x，f'(x)>0。
公式：f'(x)符号与sin x - cos x相同
提示：注意区间划分。
步骤 4/6
目标：判断极值点
由导数符号变化可知，x=π/4是极小值点，且为区间内唯一极值点，因此也是最小值点。
提示：极值点处导数为零。
步骤 5/6
目标：计算最小值
代入x=π/4，f(π/4) = (1+√2/2)/(√2/2) + (1+√2/2)/(√2/2) = 2*(√2+1) = 2+2√2。
公式：f(π/4) = 2+2√2
提示：注意sin(π/4)=cos(π/4)=√2/2。
步骤 6/6
目标：选择正确选项
函数在(0,π/2)内有最小值2+2√2，无最大值，故选D。
提示：注意区分极值和最值。
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