复旦大学 2021年强基第2题
📝 题目
$x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 为正实数，下列不等式成立的有 。 A．$\displaystyle \sum_{1\lt \mathrm{i}\lt \mathrm{j}\lt 4}\left(x_{i} x_{j}\right) \geq 6\left(x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}\right)^{\frac{1}{6}}$ B．$\displaystyle \sum_{1\lt i\lt j\lt 4}\left(x_{i} x_{j}\right) \geq 4\left(x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}\right)^{\frac{1}{4}}$ C．$\displaystyle \sum_{1\lt i\lt j\lt 4}\left(x_{i} x_{j}\right) \geq 4\left(x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}\right)^{\frac{1}{3}}$ D．$\displaystyle \sum_{1\lt \mathrm{i}\lt \mathrm{j}\lt 4}\left(x_{i} x_{j}\right) \geq 6\left(x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}\right)^{\frac{1}{2}}$
💡 答案解析
解：均值不等式，选 D 。 3 解：$x^{2}+b x+c=(x-b)(x-c) \rightarrow b=-b-c, b c=c$ $$ \begin{aligned} & c=0: b=0 \\ & c \neq 0: b=1, c=-2 \text { 故答案为 }(0,0) \text { 或 }(1,-2) \text { 。 } \end{aligned} $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别不等式类型
题目涉及四个正实数的两两乘积之和与几何平均的比较，考虑使用均值不等式。
公式：均值不等式
提示：注意求和符号表示所有无序对(i,j)的乘积之和，共有C(4,2)=6项。
步骤 2/5
目标：应用均值不等式于每项
对每个乘积x_i x_j应用均值不等式：x_i x_j ≥ 2√(x_i x_j)？不，这里需要整体考虑。实际上，由均值不等式，6项乘积的算术平均≥几何平均，即(∑x_i x_j)/6 ≥ (∏x_i x_j)^{1/6}。
公式：AM-GM: (a1+...+a6)/6 ≥ (a1...a6)^{1/6}
提示：注意乘积∏x_i x_j = (x1 x2 x3 x4)^3，因为每个变量出现3次。
步骤 3/5
目标：计算几何平均
∏_{i
公式：指数运算
提示：每个变量在6个乘积中出现3次，因此总乘积为(x1 x2 x3 x4)^3。
步骤 4/5
目标：得出不等式
由AM-GM得：∑x_i x_j ≥ 6 (x1 x2 x3 x4)^{1/2}，即选项D成立。
公式：∑x_i x_j ≥ 6 (∏x_i x_j)^{1/6} = 6 (x1 x2 x3 x4)^{1/2}
提示：等号成立当且仅当所有x_i x_j相等，即所有x_i相等。
步骤 5/5
目标：验证其他选项
选项A、B、C的指数分别为1/6、1/4、1/3，均小于1/2，由均值不等式，左边≥6*(几何平均)^{1/2}，但右边指数更小，不一定成立。例如取x1=1,x2=1,x3=1,x4=100，左边≈6+100+100+100+100+10000=10406，右边A≈6*100^{1/6}≈6*2.15=12.9，成立；但B、C也成立？实际上，由于左边≥6*(几何平均)^{1/2}，而右边是4*(几何平均)^{1/4}等，比较指数，当几何平均很大时，左边更大，但需严格证明。实际上，由幂平均不等式，对于正数，指数越大值越大，所以(几何平均)^{1/2} ≥ (几何平均)^{1/3} ≥ ...，但左边是6倍，右边是4倍，不一定。反例：取所有x_i=1，左边=6，右边A=6，B=4，C=4，D=6，所以A、D成立，B、C不成立？但题目答案选D，说明A不成立？检查：当x_i=1时，A右边=6*1^{1/6}=6，左边=6，相等，所以A成立。但题目答案只选D，可能我误解了。实际上，题目中A的指数是1/6，但左边是6项，右边是6倍，当所有x_i=1时相等，但一般情况呢？由均值不等式，左边≥6*(几何平均)^{1/2}，而A右边=6*(几何平均)^{1/6}，由于(几何平均)^{1/2} ≥ (几何平均)^{1/6}当几何平均≥1时，但几何平均可能小于1。例如取x1=x2=x3=x4=0.1，几何平均=0.1，左边=6*0.01=0.06？实际上，乘积x_i x_j最小为0.01，6项和为0.06，右边A=6*0.1^{1/6}≈6*0.68=4.08，左边<右边，所以A不成立。因此只有D恒成立。
公式：反例验证
提示：取特殊值检验，如所有x_i=0.1，左边=0.06，右边A≈4.08，不成立。
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