复旦大学 2021年强基第4题
📝 题目
圆 $\mathrm{E}, E_{1}: x^{2}+y^{2}=16$ 圆 $E_{2}:(x-1)^{2}+y^{2}=4$ ，有点 P 与两圆的切线段长度相同，求 P 轨迹
💡 答案解析
解：记 $P(x, y)$ ，则 $\displaystyle x^{2}+y^{2}-16=(x-1)^{2}+y^{2}-4 \rightarrow x=\frac{13}{2}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意，设点P坐标
设点P坐标为(x, y)，根据题意，P到两圆的切线长度相等。
提示：切线长公式：从圆外一点到圆的切线长平方等于该点到圆心距离平方减去半径平方。
步骤 2/6
目标：写出切线长平方表达式
对于圆E1: x^2+y^2=16，圆心(0,0)，半径4，切线长平方为x^2+y^2-16。对于圆E2: (x-1)^2+y^2=4，圆心(1,0)，半径2，切线长平方为(x-1)^2+y^2-4。
公式：切线长平方 = (x - x0)^2 + (y - y0)^2 - r^2
提示：注意圆方程需化为标准形式以确定圆心和半径。
步骤 3/6
目标：建立等式
由切线长相等，得x^2+y^2-16 = (x-1)^2+y^2-4。
提示：两边同时加上或减去相同项，简化方程。
步骤 4/6
目标：化简等式
展开右边：x^2+y^2-16 = x^2 -2x+1+y^2-4，两边消去x^2+y^2，得-16 = -2x+1-4，即-16 = -2x-3。
提示：注意移项时符号变化。
步骤 5/6
目标：解出x
移项得2x = 13，所以x = 13/2。
提示：最终轨迹为一条垂直于x轴的直线。
步骤 6/6
目标：写出轨迹方程
P的轨迹为直线x = 13/2。
提示：注意轨迹是直线，不是线段。
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