复旦大学 2021年强基第5题
📝 题目
$f(x)=\sin x \cos ^{2} x-\sin ^{2} x \cos ^{2} x+(m+1) \sin ^{2} x-(2+2 \sqrt{2}) \sin x+\sqrt{2}$ 在 $[0, x], f(x)\gt 0$ 恒成立，则 $m$ 范围 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：首先 $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)\gt 0 \rightarrow m\gt 1+\sqrt{2}$ ， $f(x)=-\cos ^{2} x(\sin x-1)^{2}+(\sqrt{2}+1)(\sin x-1)^{2}+(m-(\sqrt{2}+1)) \sin ^{2} x=(\sin x-1)^{2}\left(\sin ^{2} x+\sqrt{2}\right) +(m-(\sqrt{2}+1)) \sin ^{2} x$ 当 $m\gt 1+\sqrt{2}$ 时，$f(x)$ 显然大于 0 ，故 $m \in(1+\sqrt{2}, \infty)$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用特殊点缩小参数范围
取 x=π/2，此时 sin x=1，cos x=0，代入 f(x) 得 f(π/2)=m+1-2-2√2+√2=m-1-√2>0，解得 m>1+√2。
公式：f(π/2)=m-1-√2>0
提示：特殊点代入是处理恒成立问题的常用技巧。
步骤 2/4
目标：化简原函数表达式
将 f(x) 按 sin x 和 cos x 整理：f(x)= -cos²x(sin x-1)² + (√2+1)(sin x-1)² + (m-√2-1)sin²x。
公式：f(x)=(sin x-1)²(sin²x+√2)+(m-√2-1)sin²x
提示：注意因式分解和配方，将表达式转化为非负项之和。
步骤 3/4
目标：分析化简后表达式的符号
当 m>1+√2 时，m-√2-1>0，而 (sin x-1)²≥0，sin²x≥0，因此 f(x) 每一项非负，且不能同时为零，故 f(x)>0 恒成立。
公式：f(x)≥0，等号不成立
提示：注意 sin x=1 时，第一项为零，但第二项 sin²x=1，故整体仍正。
步骤 4/4
目标：得出最终参数范围
由上述分析，m>1+√2 是充分必要条件，因此 m 的取值范围为 (1+√2, +∞)。
公式：m∈(1+√2, +∞)
提示：验证边界：m=1+√2 时，f(x)= (sin x-1)²(sin²x+√2)≥0，但 x=π/2 时为零，不满足严格大于0，故开区间。
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