复旦大学 2021年强基第6题

解析：由 $B F_{1}=B A, A F_{1}$ 的中点为 $H$ ，则显然由 $B H \perp A F_{1}$ ，结论 1 正确； 作 $\angle F_{1} B F_{2}$ 的平分线交 $F_{1} F_{2}$ 于 $C$ 点，则有 $B H \perp B C$ ， 由角平分线的性质有 $\displaystyle \frac{C F_{1}}{B F_{1}}=\frac{C F_{2}}{B F_{2}}=e$ ， 设椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt b\gt 0), B\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，可得 $B F_{1}=e x_{0}+a$ ， 所以 $C F_{1}=e^{2} x_{0}+c$ ，所以 $C\left(e^{2} x_{0}, 0\right)$ ，可得 $\displaystyle k_{B C}=\frac{a^{2} y_{0}}{b^{2} x_{0}}$ ，则 $\displaystyle k_{B H}=-\frac{b^{2} x_{0}}{a^{2} y_{0}}$ ， 可得 $\displaystyle B H: \frac{x_{0} x}{a^{2}}+\frac{y_{0} y}{b^{2}}=1$ 为椭圆的切线，结论 2 正确。