复旦大学 2021年强基第7题
📝 题目
若 $B$ 为 $A$ 关于 0 的反馈点，则满足 $B$ 在 $A$ 延长线上，且 $A 0-B 0=K,(K\gt 0$ ，且 $k$ 为实数），则 $a x+b y=1$ （不过原点）关于原点的反演点轨迹。（15分）
💡 答案解析
解：记反演点 $M$ 为（ $x, y$ ），原点记为 0 ，则 $M 0$ 和 $a x+b y=1$ 的交点为 $\displaystyle \left(\frac{x}{a x+b y}, \frac{y}{a x+b y}\right)$ 则根据反演点的定义，有 $$ \sqrt{x^{2}+y^{2}} \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{a x+b y}=k $$ 故轨迹为 $x^{2}+y^{2}-a k x-b k y=0$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设反演点M的坐标
设反演点M的坐标为(x, y)，原点记为O。
提示：明确反演点的定义，即M是A关于O的反演点。
步骤 2/5
目标：求直线与OM的交点
直线ax+by=1与射线OM的交点即为A点。由于OM方向为(x,y)，参数t满足A=(tx, ty)，代入直线方程得t=1/(ax+by)，故A坐标为(x/(ax+by), y/(ax+by))。
公式：A = (x/(ax+by), y/(ax+by))
提示：利用直线方程解出参数t。
步骤 3/5
目标：应用反演点定义
根据反演点定义，有|OA|·|OM| = k。其中|OA| = √(x²+y²)/|ax+by|，|OM| = √(x²+y²)，代入得(√(x²+y²))²/|ax+by| = k。由于k>0，可去掉绝对值。
公式：|OA|·|OM| = k
提示：注意距离公式和绝对值处理。
步骤 4/5
目标：化简方程
由上式得x²+y² = k(ax+by)，整理得x²+y² - akx - bky = 0。
公式：x²+y² - akx - bky = 0
提示：移项得到轨迹方程。
步骤 5/5
目标：得出轨迹方程
轨迹方程为x²+y² - akx - bky = 0，表示一个圆（可能退化为点）。
公式：x²+y² - akx - bky = 0
提示：注意圆的条件。
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