复旦大学 2021年强基第8题
📝 题目
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}\right]$ 。（15 分）
💡 答案解析
解：由不等式 $\displaystyle \ln \frac{n+1}{n} \leq \frac{1}{n} \leq \ln \frac{n}{n-1}$ ，有 $\displaystyle \ln \frac{2 n+1}{n+1} \leq \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n} \leq \frac{2 n}{n}$故极限为 $\ln 2$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别极限形式
观察到极限是调和级数的部分和，形式为1/(n+1)+...+1/(2n)，当n→∞时，可转化为定积分或利用不等式夹逼。
提示：注意项数为n，分母从n+1到2n。
步骤 2/4
目标：应用不等式放缩
利用不等式ln((k+1)/k) ≤ 1/k ≤ ln(k/(k-1))，对每个1/(n+i)进行放缩，从i=1到n求和。
公式：ln((k+1)/k) ≤ 1/k ≤ ln(k/(k-1))
提示：该不等式源于积分放缩，常用于调和级数求和。
步骤 3/4
目标：求和得到夹逼不等式
左边求和得ln((2n+1)/(n+1))，右边求和得ln((2n)/n)=ln2。注意右边放缩时需调整下标。
公式：左边：∑_{i=1}^n ln((n+i+1)/(n+i)) = ln((2n+1)/(n+1))；右边：∑_{i=1}^n ln((n+i)/(n+i-1)) = ln(2n/n)=ln2
提示：右边求和时，从k=n+1到2n，得到ln(2n/n)=ln2。
步骤 4/4
目标：取极限
当n→∞时，左边ln((2n+1)/(n+1))→ln2，右边恒为ln2，由夹逼定理得极限为ln2。
公式：lim_{n→∞} ln((2n+1)/(n+1)) = ln2
提示：夹逼定理：若a_n ≤ b_n ≤ c_n且lim a_n = lim c_n = L，则lim b_n = L。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。