复旦大学 2021年强基第9题
📝 题目
$x, y, z$ 为非零实数，且 $\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=1$ ，求证 $\mathrm{xy}+\mathrm{xz}+\mathrm{yz} x y+x z+y z \geq 4\left(x^{2} y^{2}+x^{2} z^{2}+y^{2} z^{2}\right)+5 x y^{2}$ 并写出等式成立的充要条件，并证明。（20分）
💡 答案解析
解：记 $\Sigma$ 为轮换对称符号，则 $\sum x y=\sum x y(x+y+z)=\sum x^{2} y+\sum x y^{2}+3 x y z$ 故结合题中不等式，我们只需证明 $\sum x^{2} y+\sum x y^{2} \geq 4 \sum x^{2} y^{2}+2 x y z$ 而 $\sum x^{2} y=\sum x^{2} y(x+y+z)=\sum x^{3} y+\sum x^{2} y^{2}+x y z \sum x=\sum x^{3} y+\sum x^{2} y^{2}+x y z$ ， $\sum x y^{2}=\sum x y^{2}(x+y+z)=\sum x y^{3}+\sum x^{2} y^{2}+x y z \sum x=\sum x y^{3}+\sum x^{2} y^{2}+x y z$ 并由均值不等式，有 $\sum x^{3} y+\sum x y^{3} \geq 2 \sum x^{2} y^{2}$ 故该不等式得证。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将原不等式转化为更易处理的形式
记Σ为轮换对称符号，利用x+y+z=1，将左边∑xy乘以(x+y+z)展开，得到∑x²y+∑xy²+3xyz。原不等式化为∑x²y+∑xy² ≥ 4∑x²y²+2xyz。
公式：∑xy = ∑xy(x+y+z) = ∑x²y+∑xy²+3xyz
提示：利用条件x+y+z=1进行齐次化
步骤 2/4
目标：进一步展开∑x²y和∑xy²
将∑x²y乘以(x+y+z)展开：∑x²y = ∑x³y+∑x²y²+xyz。同理，∑xy² = ∑xy³+∑x²y²+xyz。代入不等式得：∑x³y+∑xy³+2∑x²y²+2xyz ≥ 4∑x²y²+2xyz，即∑x³y+∑xy³ ≥ 2∑x²y²。
公式：∑x²y = ∑x³y+∑x²y²+xyz, ∑xy² = ∑xy³+∑x²y²+xyz
提示：注意轮换对称性
步骤 3/4
目标：应用均值不等式证明关键不等式
由均值不等式，对任意轮换项有x³y+xy³ ≥ 2x²y²，求和得∑x³y+∑xy³ ≥ 2∑x²y²。因此原不等式成立。
公式：x³y+xy³ ≥ 2x²y²
提示：均值不等式取等条件为x=y
步骤 4/4
目标：确定等式成立的充要条件
由均值不等式取等条件，所有x³y+xy³ = 2x²y²，即x=y。结合x+y+z=1，得x=y且z=1-2x。代入原不等式验证，还需满足x,y,z非零，故x=y≠0且z≠0。因此充要条件为x=y且z=1-2x，且x≠0, z≠0。
公式：x=y, z=1-2x
提示：注意非零条件
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