复旦大学 2021年强基第10题
📝 题目
$|x|+|y|+|x-y| \leq 2$ 围成的区域面积是（）。 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
💡 答案解析
解：$x\gt 0, y\gt 0, x\gt y$ 时为 $\mathrm{x} \leq 1$ 由对称性，总面积为 $\displaystyle 8 \times \frac{1}{2}=4$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析不等式在不同象限和区域内的形式
考虑第一象限，分情况去掉绝对值：当x≥0, y≥0, x≥y时，|x|=x, |y|=y, |x-y|=x-y，不等式化为x+y+(x-y)=2x≤2，即x≤1。
公式：|x|+|y|+|x-y|≤2
提示：利用对称性简化问题，先考虑一个区域。
步骤 2/4
目标：确定第一象限内满足条件的区域
在第一象限内，条件x≥0, y≥0, x≥y且x≤1，表示一个三角形区域：顶点(0,0), (1,0), (1,1)，面积为1/2。
公式：三角形面积=1/2×底×高
提示：注意x≤1是直线x=1左侧。
步骤 3/4
目标：利用对称性扩展到整个平面
不等式关于x轴、y轴和直线y=x对称，因此整个图形由8个全等的三角形组成，每个面积1/2，总面积=8×(1/2)=4。
公式：总面积=8×单个三角形面积
提示：对称性：|x|,|y|,|x-y|都是偶函数或对称。
步骤 4/4
目标：得出最终答案
围成区域面积为4，对应选项D。
提示：检查是否遗漏或重复区域。
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