复旦大学 2021年强基第1题
📝 题目
命题 $p$ ：＂$\triangle A B C$ 的内心与外心重合＂是命题 $q$ ：＂$\triangle A B C$ 是正三角形＂的什么条件？
💡 答案解析
解析：如图所示，若 $D$ 即是内心也是外心，则有 $A D=B D$ ， 所以 $\angle B A D=\angle A B D$ ，即 $\displaystyle \frac{1}{2} \angle B A C=\frac{1}{2} \angle A B C$ ，所以 $\angle B A C=\angle A B C$ ， 同理，即可知 $\angle B A C=\angle A B C=\angle B C A$ ，则 $\triangle A B C$ 为正三角形； 
若 $\triangle A B C$ 为正三角形，则有 $\triangle A B C$ 的内心与外心重合； 所以 $p$ 是 $q$ 的充要条件。
若 $\triangle A B C$ 为正三角形，则有 $\triangle A B C$ 的内心与外心重合； 所以 $p$ 是 $q$ 的充要条件。📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解题意，明确p和q的含义
命题p：三角形内心与外心重合；命题q：三角形是正三角形。判断p是q的什么条件。
提示：内心是角平分线交点，外心是中垂线交点。
步骤 2/4
目标：证明充分性：若内心与外心重合，则三角形是正三角形
设内心与外心重合于点D，则D到三边距离相等且到三顶点距离相等。由AD=BD得∠BAD=∠ABD，即1/2∠BAC=1/2∠ABC，故∠BAC=∠ABC。同理可得∠ABC=∠BCA，所以三角形为正三角形。
公式：AD=BD ⇒ ∠BAD=∠ABD ⇒ ∠BAC=∠ABC
提示：利用等腰三角形性质。
步骤 3/4
目标：证明必要性：若三角形是正三角形，则内心与外心重合
正三角形中，角平分线、中线、高线、中垂线重合，因此内心、外心、重心、垂心重合，故内心与外心重合。
提示：正三角形四心合一。
步骤 4/4
目标：得出结论
由充分性和必要性均成立，故p是q的充要条件。
提示：充要条件即等价关系。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。