复旦大学 2021年强基第2题
📝 题目
已知 $f(x)$ 周期为 1 ，则命令 $p:$＂$f(x)+f(x+\sqrt{3})=2$＂是命题 $q: ~ " f(x)$ 恒为 1 ＂的什么条件？
💡 答案解析
解析：若 $f(x)$ 恒为 1 ，则有 $f(x)+f(x+\sqrt{3})=2$ ； 若 $f(x)+f(x+\sqrt{3})=2$ ，可知 $T=2 \sqrt{3}$ ，有 $T=1$ ， 取 $A=\{m+2 \sqrt{3} n, m \in Z, n \in Z\}, B=\{m+(2 n+1) \sqrt{3}, m \in Z, n \in Z\}$ ， $C=C_{R}(A \cup B), f(x)=\left\{\begin{array}{l}2+k, x \in A \\ -k, x \in B \\ 1, x \in C\end{array} \quad(k \in Z\right.$ 且 $k \neq-1)$ ，有 $f(x)$ 不恒为 1 ； 则可知 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：判断充分性：若f(x)恒为1，则f(x)+f(x+√3)=2是否成立
若f(x)恒为1，则f(x+√3)=1，所以f(x)+f(x+√3)=2成立，即q⇒p，p是q的必要条件。
公式：f(x)=1 ⇒ f(x)+f(x+√3)=2
提示：直接代入验证即可
步骤 2/6
目标：判断必要性：若f(x)+f(x+√3)=2，能否推出f(x)恒为1
由f(x)+f(x+√3)=2，结合周期为1，可推出f(x)周期为2√3，进而构造反例说明f(x)不一定恒为1。
公式：f(x)+f(x+√3)=2, T=1 ⇒ T=2√3
提示：注意周期函数性质
步骤 3/6
目标：推导f(x)的周期为2√3
由f(x)+f(x+√3)=2，得f(x+√3)=2-f(x)。代入x+√3得f(x+2√3)=2-f(x+√3)=2-(2-f(x))=f(x)，故周期为2√3。
公式：f(x+2√3)=f(x)
提示：迭代代入
步骤 4/6
目标：利用周期1和2√3构造反例
由于周期1和2√3，f(x)在有理数组合上取值可任意。构造：令A={m+2√3n}，B={m+(2n+1)√3}，C为其余实数。定义f在A上为2+k，B上为-k，C上为1，其中k≠-1整数。
公式：f(x)=⎧⎩⎨2+k, x∈A; -k, x∈B; 1, x∈C⎫⎭⎬
提示：验证满足条件但不恒为1
步骤 5/6
目标：验证反例满足条件
对任意x，若x∈A，则x+√3∈B，f(x)+f(x+√3)=(2+k)+(-k)=2；若x∈B，则x+√3∈A，和也为2；若x∈C，则x+√3∈C，和为1+1=2。故满足p，但f(x)不恒为1。
公式：f(x)+f(x+√3)=2
提示：分类验证
步骤 6/6
目标：得出结论
p不能推出q，但q能推出p，故p是q的必要不充分条件。
提示：注意充分性与必要性的区分
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