复旦大学 2021年强基第3题
📝 题目
$A D$ 是 $\triangle A B C$ 的角平分线，$A B=3, A C=8, B C=7$ ，求 $A D$ 的长．
💡 答案解析
解析：由角平分线长公式有 $\displaystyle A D=\frac{2 \sqrt{b c p(p-a)}}{b+c}=\frac{2 \sqrt{3 \times 8 \times 9 \times 2}}{3+8}=\frac{24 \sqrt{3}}{11}$,
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别已知条件
已知三角形ABC中，AB=3，AC=8，BC=7，AD是角平分线，求AD长度。
提示：注意角平分线对应边的关系。
步骤 2/6
目标：计算半周长p
半周长p = (AB+AC+BC)/2 = (3+8+7)/2 = 9。
公式：p = (a+b+c)/2
提示：半周长是角平分线公式中的关键参数。
步骤 3/6
目标：应用角平分线长公式
角平分线长公式：AD = (2√(bcp(p-a)))/(b+c)，其中a=BC=7，b=AC=8，c=AB=3。
公式：AD = (2√(bcp(p-a)))/(b+c)
提示：注意a是角A所对的边，即BC。
步骤 4/6
目标：代入数值计算
代入得：AD = (2√(3×8×9×(9-7)))/(3+8) = (2√(3×8×9×2))/11 = (2√432)/11。
提示：计算根号内乘积时注意顺序。
步骤 5/6
目标：化简根式
√432 = √(144×3) = 12√3，所以AD = (2×12√3)/11 = 24√3/11。
提示：432=144×3，144是12的平方。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
AD = 24√3/11。
提示：结果保留根号形式。
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