复旦大学 2021年强基第4题
📝 题目
求 $\displaystyle \left(x^{2}+\frac{1}{x y}+y^{4}+\frac{1}{y^{2}}\right)^{8}$ 展开式中的常数项。
💡 答案解析
解析：通项 $\displaystyle T_{r+1}=C_{8}^{r}\left(x^{2}+\frac{1}{x y}\right)^{8-r}\left(y^{4}+\frac{1}{y^{2}}\right)^{r}$ ， $\displaystyle \left(x^{2}+\frac{1}{x y}\right)^{8-r}$ 通项 $\displaystyle C_{8-r}^{s} x^{2(8-r-s)}\left(\frac{1}{x y}\right)^{s},\left(y^{4}+\frac{1}{y^{2}}\right)^{r}$ 通项 $\displaystyle C_{r}^{t} y^{4(r-t)}\left(\frac{1}{y^{2}}\right)^{t}$ ， 则只需 $16-2 r-3 s=0,4 r-6 t-s=0$ ， 可得 $32-7 s-6 t=0$ ，所以 $s=2, t=3$ ，则有 $r=5$ ， 故可知常数项为 $C_{8}^{5} C_{3}^{2} C_{5}^{3}=1680$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出二项展开式的通项公式
将原式视为两项和的8次方，写出通项T_{r+1}=C_8^r (x^2+1/(xy))^{8-r} (y^4+1/y^2)^r。
公式：T_{r+1}=C_8^r (x^2+1/(xy))^{8-r} (y^4+1/y^2)^r
提示：注意将原式分成两个二项式，分别处理。
步骤 2/6
目标：分别写出两个二项式的通项
对(x^2+1/(xy))^{8-r}，通项为C_{8-r}^s x^{2(8-r-s)} (1/(xy))^s；对(y^4+1/y^2)^r，通项为C_r^t y^{4(r-t)} (1/y^2)^t。
公式：C_{8-r}^s x^{2(8-r-s)-s} y^{-s}, C_r^t y^{4(r-t)-2t}
提示：合并指数时注意x和y的指数分别计算。
步骤 3/6
目标：合并指数并令x和y的指数为0
合并后x的指数为16-2r-3s，y的指数为4r-6t-s。令两者为0得方程组：16-2r-3s=0，4r-6t-s=0。
公式：16-2r-3s=0, 4r-6t-s=0
提示：常数项要求x和y的指数均为0。
步骤 4/6
目标：消去r求解s和t
由第一个方程得r=(16-3s)/2，代入第二个方程得4*(16-3s)/2 -6t -s=0，化简得32-7s-6t=0。
公式：32-7s-6t=0
提示：注意s和t为非负整数，且r为整数。
步骤 5/6
目标：确定满足条件的非负整数解
由32-7s-6t=0，且s≤8-r，t≤r。尝试s=2，得32-14-6t=0 => t=3。此时r=(16-6)/2=5，满足条件。
公式：s=2, t=3, r=5
提示：验证r在0到8之间，且s≤8-r，t≤r。
步骤 6/6
目标：计算常数项系数
常数项为C_8^5 * C_{8-5}^2 * C_5^3 = C_8^5 * C_3^2 * C_5^3 = 56 * 3 * 10 = 1680。
公式：C_8^5 C_3^2 C_5^3 = 1680
提示：注意组合数相乘，C_8^5=56，C_3^2=3，C_5^3=10。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。