复旦大学 2021年强基第5题
📝 题目
已知 $0 \leq n \leq 18,19 m+n=2021^{2022}$ ，则 $n=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解析： $2021^{2} \equiv 11(\bmod 19)$ ，则 $2021^{2022} \equiv 11^{1011}(\bmod 19)$ ， $1011=3 \times 337,11^{3} \equiv 1(\bmod 19)$ ，则 $11^{1011} \equiv 1(\bmod 19)$ ，所以 $n=1$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将原方程转化为同余式
由19m + n = 2021^{2022}，且0 ≤ n ≤ 18，两边模19得n ≡ 2021^{2022} (mod 19)。
公式：19m + n ≡ n (mod 19)
提示：注意n的范围，直接模19消去19m。
步骤 2/6
目标：计算2021模19的余数
2021 ÷ 19 = 106余7，因为19×106=2014，2021-2014=7，所以2021 ≡ 7 (mod 19)。
公式：2021 ≡ 7 (mod 19)
提示：直接除法求余数。
步骤 3/6
目标：简化幂的模运算
2021^{2022} ≡ 7^{2022} (mod 19)，但7^2=49≡11 (mod 19)，所以7^{2022} = (7^2)^{1011} ≡ 11^{1011} (mod 19)。
公式：7^{2022} ≡ 11^{1011} (mod 19)
提示：将指数化为偶数，利用平方简化。
步骤 4/6
目标：计算11^3模19
11^2=121≡7 (mod 19)，11^3=11×7=77≡1 (mod 19)，因为19×4=76，77-76=1。
公式：11^3 ≡ 1 (mod 19)
提示：发现周期为3。
步骤 5/6
目标：利用周期简化指数
1011 ÷ 3 = 337余0，所以11^{1011} = (11^3)^{337} ≡ 1^{337} = 1 (mod 19)。
公式：11^{1011} ≡ 1 (mod 19)
提示：指数是3的倍数，结果为1。
步骤 6/6
目标：得出n的值
由n ≡ 1 (mod 19)且0 ≤ n ≤ 18，得n=1。
公式：n ≡ 1 (mod 19)
提示：唯一满足范围的数。
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