复旦大学 2021年强基第6题
📝 题目
已经 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆的左右焦点，$B$ 为椭圆上一点，延长 $F_{2} B$ 到点 $A$ ，满足 $B F_{1}=B A, A F_{1}$ 的中点为 $H$ ，则下列两个结论是否正确： 结论 1：$A F_{1} \perp B H$ ； 结论 2：$B H$ 为椭圆的切线。
💡 答案解析
解析：由 $B F_{1}=B A, A F_{1}$ 的中点为 $H$ ，则显然由 $B H \perp A F_{1}$ ，结论 1 正确； 作 $\angle F_{1} B F_{2}$ 的平分线交 $F_{1} F_{2}$ 于 $C$ 点，则有 $B H \perp B C$ ， 由角平分线的性质有 $\displaystyle \frac{C F_{1}}{B F_{1}}=\frac{C F_{2}}{B F_{2}}=e$ ， 设椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt b\gt 0), B\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，可得 $B F_{1}=e x_{0}+a$ ， 所以 $C F_{1}=e^{2} x_{0}+c$ ，所以 $C\left(e^{2} x_{0}, 0\right)$ ，可得 $\displaystyle k_{B C}=\frac{a^{2} y_{0}}{b^{2} x_{0}}$ ，则 $\displaystyle k_{B H}=-\frac{b^{2} x_{0}}{a^{2} y_{0}}$ ， 可得 $\displaystyle B H: \frac{x_{0} x}{a^{2}}+\frac{y_{0} y}{b^{2}}=1$ 为椭圆的切线，结论 2 正确。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明结论1：AF1⊥BH
由BF1=BA且H为AF1中点，根据等腰三角形三线合一，得BH⊥AF1，结论1正确。
公式：等腰三角形底边中线垂直于底边
提示：注意中点与等长条件直接推出垂直。
步骤 2/6
目标：引入角平分线辅助线
作∠F1BF2的平分线交F1F2于C，则BH⊥BC（因为BH是∠F1BA的平分线？需验证）。实际上，由BF1=BA，BH是∠F1BA的平分线，而BC是∠F1BF2的平分线，两角互补，故BH⊥BC。
公式：角平分线性质
提示：注意两角互补关系。
步骤 3/6
目标：利用角平分线性质求C点坐标
由角平分线性质，CF1/BF1=CF2/BF2=e。设椭圆方程x²/a²+y²/b²=1，B(x0,y0)，则BF1=a+ex0，BF2=a-ex0。得CF1=e(a+ex0)=c+e²x0，故C(e²x0,0)。
公式：CF1/BF1=CF2/BF2=e
提示：椭圆焦半径公式：BF1=a+ex0，BF2=a-ex0。
步骤 4/6
目标：计算直线BC的斜率
B(x0,y0)，C(e²x0,0)，斜率k_BC=y0/(x0-e²x0)=y0/(x0(1-e²))。由b²=a²(1-e²)，得k_BC=a²y0/(b²x0)。
公式：k_BC = a²y0/(b²x0)
提示：注意e²=1-b²/a²。
步骤 5/6
目标：推导BH的斜率
由BH⊥BC，得k_BH = -1/k_BC = -b²x0/(a²y0)。
公式：k_BH = -b²x0/(a²y0)
提示：垂直斜率乘积为-1。
步骤 6/6
目标：写出BH的方程并验证切线
BH过B(x0,y0)，方程为y-y0 = -b²x0/(a²y0)(x-x0)，整理得x0x/a² + y0y/b² = 1，这正是椭圆在B处的切线方程，故BH为切线，结论2正确。
公式：椭圆切线方程：x0x/a² + y0y/b² = 1
提示：切线方程形式需记忆。
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