复旦大学 2021年强基第7题
📝 题目
$\displaystyle g(x)=\frac{x+[x]+2-[x+|x|-2]}{4}$ ，若 $f(x)=\log _{2} x$ ，解不等式 $0\lt g(f(x))\lt 1$ 。
💡 答案解析
解析：当 $0\lt x\lt 1$ ，有 $f(x) \leqslant 0$ ，则 $[f(x)+|f(x)|-2]=-2$ ， 所以 $\displaystyle g(f(x))=\frac{f(x)+[f(x)]+4}{4}\lt 1$ ，只需 $f(x)+[f(x)]\gt -4$ ， 解得 $\displaystyle \frac{1}{4}\lt x\lt 1$ ， 当 $x \in\left[2^{k}, 2^{k+1}\right), k \in \mathrm{~N}$ ， 有 $f(x) \in[k, k+1), 2 f(x)-2 \in[2 k-2,2 k),[f(x)]=k$ ， （I）若 $2 f(x)-2 \in[2 k-2,2 k-1)$ ，有 $[2 f(x)-2]=2 k-2$ ， 则 $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)-k+4}{4} \geqslant 1$ ，不符合； （II）若 $2 f(x)-2 \in[2 k-1,2 k)$ ，有 $[2 f(x)-2]=2 k-1$ ， 则 $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)-k+3}{4} \in\left[\frac{3}{4}, 1\right)$ ，符合，此时 $\displaystyle x \in\left[2^{k+\frac{1}{2}}, 2^{k+1}\right)$ ； 综上可知 $\displaystyle x \in\left(\frac{1}{4}, 1\right) \cup\left[2^{k+\frac{1}{2}}, 2^{k+1}\right)$ ，其中 $k \in \mathrm{~N}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析定义域和函数值范围
由f(x)=log₂x，定义域x>0。当0
公式：f(x)=log₂x
提示：注意绝对值处理
步骤 2/6
目标：求解0
代入g(f(x))表达式：g(f(x))=(f(x)+[f(x)]+2-(-2))/4=(f(x)+[f(x)]+4)/4。由0-4，解得f(x)>-2或f(x)≥-1？更精确：由f(x)+[f(x)]>-4，因[f(x)]≤f(x)，得2f(x)>-4，f(x)>-2，即log₂x>-2，x>1/4。结合0
公式：g(f(x))=(f(x)+[f(x)]+4)/4
提示：注意[f(x)]的取值
步骤 3/6
目标：分析x≥1时的情况
当x≥1时，f(x)≥0。设x∈[2^k,2^{k+1})，k∈N，则f(x)∈[k,k+1)，[f(x)]=k。计算|f(x)|=f(x)，则f(x)+|f(x)|-2=2f(x)-2∈[2k-2,2k)。
公式：2f(x)-2∈[2k-2,2k)
提示：分区间讨论
步骤 4/6
目标：分情况讨论2f(x)-2的整数部分
情况I：2f(x)-2∈[2k-2,2k-1)，则[2f(x)-2]=2k-2，代入得g(f(x))=(f(x)+k+2-(2k-2))/4=(f(x)-k+4)/4。由于f(x)≥k，故g(f(x))≥1，不满足0
公式：g(f(x))=(f(x)-k+4)/4
提示：注意下界
步骤 5/6
目标：情况II：2f(x)-2∈[2k-1,2k)
此时[2f(x)-2]=2k-1，则g(f(x))=(f(x)+k+2-(2k-1))/4=(f(x)-k+3)/4。由f(x)∈[k,k+1)得g(f(x))∈[3/4,1)，满足0
公式：g(f(x))=(f(x)-k+3)/4
提示：注意区间端点
步骤 6/6
目标：综合所有解
综上，解集为(1/4,1)∪∪_{k∈N}[2^{k+1/2},2^{k+1})。注意k从0开始，当k=0时，[2^{1/2},2)即[√2,2)。
提示：合并区间
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。