复旦大学 2021年强基第8题
📝 题目
方程 $18 x+4 y+9 z=2021$ 的正整数解有多少组？
💡 答案解析
解析：由 $2021 \equiv 5(\bmod 9)$ ，可知 $y=9 w+8, w \in \mathrm{~N}$ ， 所以 $2 x+4 w+z=221$ ，又 $221 \equiv 1(\bmod 2)$ ，可知 $z=2 s+1, s \in \mathrm{~N}$ ， 所以 $x+2 w+s=110$ ，则有 $x+s$ 为偶数， （I）若 $x=2 p+1, s=2 q+1, p, q \in \mathrm{~N}$ ，则有 $p+w+q=54$ ，共有 $C_{56}^{2}$ 组解； （II）若 $x=2 r, s=2 t, r \in \mathrm{~N}^{*}, t \in \mathrm{~N}$ ，则有 $r+w+t=55$ ，共有 $C_{56}^{2}$ 组解； 则可知共有 $2 C_{56}^{2}=3080$ 组正整数解。
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析模9同余条件
方程18x+4y+9z=2021，模9得4y≡2021≡5(mod9)，解得y≡8(mod9)，设y=9w+8，w∈N。
公式：4y ≡ 5 (mod 9) ⇒ y ≡ 8 (mod 9)
提示：注意模9时18x和9z均为0。
步骤 2/8
目标：代入化简方程
代入y=9w+8得18x+4(9w+8)+9z=2021，化简得2x+4w+z=221。
公式：18x+36w+32+9z=2021 ⇒ 2x+4w+z=221
提示：注意系数化简。
步骤 3/8
目标：分析模2同余条件
方程2x+4w+z=221模2得z≡1(mod2)，设z=2s+1，s∈N。
公式：z ≡ 1 (mod 2) ⇒ z=2s+1
提示：2x和4w均为偶数。
步骤 4/8
目标：再次代入化简
代入z=2s+1得2x+4w+2s+1=221，化简得x+2w+s=110。
公式：2x+4w+2s+1=221 ⇒ x+2w+s=110
提示：注意移项。
步骤 5/8
目标：分析奇偶性分类
由x+2w+s=110，2w为偶数，故x+s为偶数。分两类：x,s均为奇数或均为偶数。
公式：x+s为偶数
提示：奇偶性分析。
步骤 6/8
目标：第一类：x,s均为奇数
设x=2p+1，s=2q+1，p,q∈N，代入得2p+1+2w+2q+1=110，即p+w+q=54。非负整数解组数为C(54+3-1,3-1)=C(56,2)。
公式：p+w+q=54，解数C(56,2)
提示：非负整数解个数公式。
步骤 7/8
目标：第二类：x,s均为偶数
设x=2r，s=2t，r∈N*，t∈N，代入得2r+2w+2t=110，即r+w+t=55。注意x为正整数，故r≥1。非负整数解组数为C(55+3-1,3-1)=C(56,2)。
公式：r+w+t=55，解数C(56,2)
提示：r≥1，但非负整数解公式仍适用。
步骤 8/8
目标：求和得总组数
两类解数均为C(56,2)=1540，总组数为2×1540=3080。
公式：总组数=2×C(56,2)=3080
提示：注意组合数计算。
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