复旦大学 2021年强基第9题
📝 题目
确定曲线 $|x+y|=2 \sqrt{(x-3)^{2}+(y+6)^{2}}$ 的类型。 10 ．求由曲线 $|x|+|y| \leq \sqrt{\pi}, x^{2}+y^{2} \geq 2$ 围成的面积。
💡 答案解析
解析：由已知可得 $\displaystyle \frac{\sqrt{(x-3)^{2}+(y+6)^{2}}}{\frac{|x+y|}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， 即动点 $(x, y)$ 到定点 $(3,-6)$ 与到定直线 $x+y=0$ 的距离比为定值 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，由圆雉曲线的第二定义可知动点 $(x, y)$ 的轨迹为椭圆。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别曲线方程形式
将方程 $|x+y|=2 \sqrt{(x-3)^{2}+(y+6)^{2}}$ 两边除以 $\sqrt{2}$，得到 $\frac{|x+y|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \sqrt{(x-3)^{2}+(y+6)^{2}}$，即点到直线距离与点到点距离的关系。
公式：$\frac{|x+y|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \sqrt{(x-3)^{2}+(y+6)^{2}}$
提示：注意 $|x+y|/\sqrt{2}$ 是点 $(x,y)$ 到直线 $x+y=0$ 的距离。
步骤 2/4
目标：转化为距离比形式
将方程改写为 $\frac{\sqrt{(x-3)^{2}+(y+6)^{2}}}{\frac{|x+y|}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，即动点到定点 $(3,-6)$ 与到定直线 $x+y=0$ 的距离之比为常数 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。
公式：$\frac{\sqrt{(x-3)^{2}+(y+6)^{2}}}{\frac{|x+y|}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
提示：距离比小于1，对应椭圆。
步骤 3/4
目标：应用圆锥曲线第二定义
根据圆锥曲线第二定义，动点到焦点与到准线的距离之比为离心率 $e$。这里 $e = \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$，故轨迹为椭圆。
公式：离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$
提示：焦点为 $(3,-6)$，准线为 $x+y=0$。
步骤 4/4
目标：得出结论
因此，曲线 $|x+y|=2 \sqrt{(x-3)^{2}+(y+6)^{2}}$ 的类型是椭圆。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。